SKKN Hướng dẫn học sinh Lớp 12 sử dụng phương pháp hình học để giải bài toán tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi THPT QG Năm học 2023 – 2024 tại trường THPT chuyên Bắc Giang

 CỘỘỦĨỆ NG HÒA XÃ H I CH NGH A VI T NAM
 Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
 ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
 Kính gửi: Hội đồng sáng kiến Trường THPT Chuyên Bắc Giang 
 Chúng tôi ghi tên dưới đây: 
TT Họ và tên Ngày Nơi công Chức Trình độ Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc
 tháng tác danh chuyên tạo ra sáng kiến
 năm sinh môn Tỷ lệ Nội dung đóng góp 
 (%) vào việc tạo ra sáng 
 kiến
1 Lại Thu 30/8/1977 Tổ Toán - Giáo Thạc sĩ 70 Nghiên cứu giải pháp
 Hằng Tin viên Toán học mới, ứng dụng và 
 THPT đánh giá kết quả ứng 
 hạng 2 dụng giải pháp mới.
2 Đỗ Thị 24/6/1971 Tổ Toán - Giáo Cử nhân 30 Đánh giá tình trạng 
 Nhung Tin viên Toán - nhược điểm, hạn chế 
 THPT Tin gủa giải pháp cũ 
 hạng 2 thường làm và sự cần
 thiết áp dụng giải 
 pháp sang kiến mới.
 Là nhóm tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Một số phương pháp chứng minh
 bất đẳng thức”.
 1. Điện thoại liên hệ của đại diện nhóm tác giả sáng kiến
 - Họ và tên: Lại Thu Hằng. 
 - Điện thoại: 0982087768
 - Email: lthang.cbg@bacgiang.edu.vn
 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và Đào tạo – áp dụng giảng dạy môn Toán 
 3. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: ngày 31/08/2018
 4. Các tài liệu kèm theo:
 4.1. Thuyết minh mô tả giải pháp và kết quả thực hiện sáng kiến: 01 cuốn
 4.2. Quyết định công nhận sáng kiến: 
 Quyết định số.. / ...................... ngày ... /.. / của Hội đồng sáng kiến cấp ............ 
 4.3. Biên bản họp Hội đồng sáng kiến cấp ......... :
 Bắc Giang, ngày 28 tháng 02 năm 2024
 Đại diện nhóm tác giả sáng kiến
 Lại Thu Hằng 
 1 I. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm
 Qua trao đổi với các thầy cô giáo trong bộ môn toán nhà trường, tôi nhận thấy việc
các thầy cô vẫn đang còn dạy các em tìm lời giải cho các bài toán: Tìm GTLN, GTNN
của mô đun số phức theo phương pháp biến đổi trực tiếp rồi dùng phương pháp hàm số
hoặc dùng bất đẳng thức để đánh giá. Vì vậy, tôi nhận thấy với cách làm như vậy sẽ đưa
học sinh vào một số thử thách trong việc làm bài thi Tốt nghiệp THPT như sau:
 Một là, thời gian các em dành để tìm ra đáp số của bài toán mất nhiều thời gian.
 Hai là, một số bài toán phức tạp các em sẽ gặp khó khăn trong việc định hướng
tìm lời giải. Ngược lại, những em có hướng giải quyết bài toán thì không đủ thời gian để
tìm lời giải nên dẫn đến tình huống đoán mò.
 Từ thực tế đó, đòi hỏi cần có cách tư duy bài toán theo cách giải toán trắc nghiệm,
trong đó việc khai thác tối đa tính trực quan của việc biểu diễn số phức bằng hình học
việc giải toán là việc làm rất cần thiết trong việc ôn thi Tốt nghiệp THPT của nhà trường
trong giai đoạn hiện nay.
II.. Giải pháp thực hiện
 Trong quá trình dạy học ôn thi THPT trong 3 năm gần đây, qua nghiên cứu đề thi
chính thức của Bộ giáo dục và đào tạo năm và đề minh họa các năm, Tôi xin đưa ra cách
hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp hình học để tìm lời giải cho một số bài toán
vận dụng cao về tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức sau:
DẠNG 1: CỰC TRỊ CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC LIÊN QUAN ĐẾN 1 SỐ PHỨC CÓ
ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ MỘT ĐƯỜNG TRÒN, ĐƯỜNG THẲNG
Ví dụ 1. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là 
 A. . B. . C. . D. .
 Lời giải
 Giả sử
 . 
 Vì tìm nên xét và là đường tròn tâm 
 I
 K M
 . Từ giả thiết là đường tròn tâm bán 
 kính . Vậy để lớn nhất thì hai đường tròn tiếp xúc 
 trong với nhau và 
 3 Gọi , . Để IM lớn nhất thì vị trí M cần tìm tại H 
 sao cho , . Suy ra
 .
 H
 M
 K
 I
 O
 Cách 2. (Hình học tổng hợp)
 Tính suy ra 
 thay số .
 Cách 3. (Hình học véc tơ)
 Gọi và ta có: , để
 thì ta chọn sao cho cùng hướng , do đó . Với 
 . và
 .
Ví dụ 5. Biết số phức thỏa mãn và biểu thức đạt 
 giá trị lớn nhất. Tính .
 A. . B. . C. . D. .
Phân tích.
 Bài toán quy về xét vị trí điểm M thuộc giao của đường tròn và đường thẳng.
 Lời giải
 Cách 1. (Hình học tọa độ)
 Gọi thì M thuộc đường tròn (C), tâm I(3; 4), R = và ta có:
 5 CALC nhập -3 + 2i = 2i = -3 +i = ta có kết quả cần tìm.
Ví dụ 7. Cho các số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của
 là
 A. B. C. D. 
 Lời giải
 Giả sử biểu diễn , . Khi đó ta có
 .
 Gọi thì ta cần tìm min , vì A và B khác phía đối với
 bởi thế .
 A
 d M
 B
Nhận xét: Qua các ví dụ trên giúp học sinh củng cố kiến thức và luyện tập kỹ năng về
 min, max.
Ví dụ 8. Xét các số phức z thỏa mãn . Gọi m, M lần lượt là 
 giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của . Tính .
 A. B. 
 C. D. 
 Lời giải.
 7 Gọi là điểm biểu diễn là vectơ biểu diễn ; là điểm biểu diễn
 là vectơ biểu diễn ; là điểm biểu diễn là vectơ biểu 
 diễn . Có ; ;
 .
 Gọi và là điểm biểu diễn .
 Ta có : 
 Xét với biểu diễn số phức .
 khi . Mà 
 . Chọn B .
Ví dụ 11. Giả sử là hai nghiệm phức của phương trình
 và . Tính .
 A. . B. . C. . D. .
 Lời giải
 Ta chia cả hai vế cho và được . Đặt thì ta có
 hay ta có , nói cách khác hai số
 cùng thuộc đương tròn tâm O, bán kính R = 1. Gọi A, B biểu diễn các số 
 thì từ suy ra OAB là tam giác đều. Không giảm tổng quát chọn
 9 Nghĩa là nên hai đường thẳng , hơn nữa .
 I H K
 Q
 P
 M
 Rõ ràng ta có nhỏ nhất khi P, Q thuộc các đoạn MI, MK và do 
 tính đối xứng nên = 2MK . Vậy
 . Chọn A.
DẠNG 3: CỰC TRỊ CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC CÓ
ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ELIP
Ví dụ 14. Cho số phức z thỏa mãn và . 
Tính .
 A. B. C. D. . 
 Lời giải
 Gọi là điểm biểu diễn số phức z, thì giả thiết:
 nên M thuộc elip có phương trình
 (1). Hoàn toàn tương tự M thuộc elip (2). Quy đồng và cân
 bằng ta có . Ta chỉ
 việc thay số:
 . Chọn A.
Nhận xét. Cách giải trên có thể một số em còn băn khoăn, sau đây ta có thể giải như sau
 Theo giả thiết thứ nhất suy ra (1).
 11 Gọi biểu diễn z, 
 thì như thế quỹ 
 tích M là một Elip. Nhận xét rằng là trung điểm của K F1 F2
 I D
 và ta cần tính độ dài lớn nhất của KM, khi đó vị trí 
 M
 cần tìm tại D, mà sao cho (không đổi)
 nên suy ra
 . Vậy . Chọn B.
Ví dụ 17. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của
 là
 A. . B. . C. . D. .
 Lời giải
 Gọi thì M thuộc elip (E), tâm , a = , c = . 
 Gọi thì . Vậy ta chỉ cần xác định vị trí M sao cho 
 và cùng hướng hay . 
 Do đó ta có .
 . Vậy . Chọn A.
Ví dụ 18. Xét các số phức thỏa mãn . Tính
 khi đạt giá trị lớn nhất.
 A. B. C. D. 
 Lời giải
 có tâm , . Gọi , , là trung 
 điểm AB. 
 Ta có . Chú ý là .
 B K A
 M
 I
 H
 13 và .
 Do đó, tập hợp các điểm biểu diễn của là ; tập hợp các 
 điểm biểu diễn của là 
 + Gọi là đường thẳng tiếp xúc với và song song với thì có 
 phương trình là: .
 y
 ( )
 (P) (d)
 x
 1
 Vậy 
Ví dụ 21. Xét hai số phức thỏa mãn và . Giá trị lớn
nhất bằng
 A. . B. . C. . D.
 .
 Lời giải
 Đặt với Theo giả thiết thì
 Do đó 
 Ta có nên
 15 .
 Suy ra .
Ví dụ 24. Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm Giá trị lớn
nhất của biểu thức .
 A. . B. . C. . D. .
 Lời giải
 Ta có . Đặt , .
 Khi đó .
 Tương tự ta có .
 Do đó .
 Suy ra hay .
 Áp dụng ta có
 .
 Suy ra .
Ví dụ 25. Cho các số phức và thỏa mãn và . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức 
 A. . B. . C. . D. .
 Lời giải
 Giả sử M, N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức và 
 17