Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng của hệ thức Vi - Ét để tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai

 ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN CƯ JUT 
 TRƯỜNG THCS PHẠM HỒNGTHÁI 
 
 SÁNG KIẾN: 
 ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI – ÉT ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ CỦA 
THAM SỐ THỎA MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM CỦA 
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
 Lĩnh vực: Toán học. 
 Tác giả: Lê Văn Hiền. 
 Chức vụ: Giáo viên. 
 Đơn vị công tác: Trường THCS Phạm Hồng Thái – Cư Jut - Đăk Nông. 
 Cư Jut, năm 2023 
1. MỞ ĐẦU. 
1. 1. Lý do chọn đề tài. 
 Bộ môn toán nói chung và môn toán 9 nói riêng là một môn học rất 
khó, tổ hợp kiến thức một cách có hệ thống trong suốt cả quá trình học đòi hỏi 
học sinh phải có độ tư duy, phân tích, trìu tượng cao. Học sinh học tốt môn 
toán cần phải có tố chất, sự chăm chỉ trong suốt quá trình học, không ngại 
khó, không ngại vất vả, dám đương đầu với những bài toán khó. Hay nói cách 
khác, học sinh thích học toán thôi chưa đủ mà phải có sự đam mê với toán. 
 Người học tốt môn toán khi đi ra xã hội sẽ có cách nhìn nhận cuộc 
sống, vấn đề thực tiễn một cách tốt hơn. Đứng trước một vấn đề trong thực 
tiễn người đó có nhiều hướng giải quyết khác nhau. Qua việc sử dụng kiến 
thức để phân tích tình hình, dự đoán khả năng, quan sát các biểu hiện Từ đó 
lựa chọn ra cách giải quyết vấn đề tốt nhất, giúp giảm thiểu những sai sót, tổn 
thất, né tránh được những cạm bẩy trong cuộc đời. 
 Để học tốt toán 9, học sinh phải có một kiến thức nền tảng từ các 
lớp dưới một cách vững chắc, phải có tố chất, sự chăm chỉ vẫn chưa đủ mà 
phải có sự đam mê với toán. Học sinh lớp 9 sẽ được tham gia rất nhiều các 
cuộc thi lớn: Thi violympic toán, thi học sinh giỏi toán 9, thi đầu vào lớp 10, 
thi vào trường chuyên. Việc sử dụng định lý Vi – Ét để tìm giá trị của tham 
số thỏa mãn biểu thức chửa nghiệm của phương trình bậc hai là một dạng 
toán vận dụng vô cùng khó với học sinh lớp 9. Để giúp học sinh có cách cách 
nhìn tổng quan về giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số, Tôi 
mạnh dạn lựa chọn đề tài “Ứng dụng của hệ thức Vi – Ét để tìm giá trị của 
tham số thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai”. Đây 
cũng là mong muốn của Tôi giúp học sinh có một kiến thức đầy đủ hơn, tự tin 
hơn khi tham gia các cuộc thi lớn. 
1. 2. Mục đích nghiên cứu. 
 Giúp học sinh nắm vững hơn về định lý Vi – Ét; hiểu được tầm quan 
trọng của hệ thức Vi – Ét trong giải và biện luận phương trình bậc hai. Đặc 
biệt là phương trình bậc hai chứa tham số. 
 1 
2. NỘI DUNG. 
2. 1. Cơ sở lý luận của vấn đề. 
 Toán học là môn học có vị trí quan trọng trong trường học cũng như 
trong thực tiễn đời sống. Giúp chúng ta có cách nhìn nhận tổng thể, có khả 
năng quan sát, phân tích, dự đoán. Khi vào thực tiễn đời sống, với mỗi vấn 
đề thực tế chúng ta có nhiều cách giải quyết vấn đề. Từ đó lựa chọn ra cách 
giải quyết vấn đề một cách tốt nhất. 
 Qua thực tế nhiều năm giảng dạy khối 9, sau khi học xong bài học “Hệ 
thức Vi – Ét và ứng dung” Tôi nhận thấy đa số học sinh thực hiện được việc 
tìm được tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai (nếu có); nhẩm 
nghiệm của một phương trình bậc hai; tìm hai số khi biết tổng và tích. Tuy 
nhiên, việc ứng dụng hệ thức Vi – Ét trong giải toán đặc biệt là dạng toán “tìm 
giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc 
hai” thì đa số học sinh lại không làm được. Mà đây là dạng toán các em rất 
hay gặp khi tham gia các cuộc thi lớp như: Thi violympic toán 9, thi học sinh 
giỏi toán 9, thi đầu vào cấp 3, thi vào trường chuyên, lớp định hướng. Thiết 
nghĩ, nếu các em không có năng lực thành thào khi giải dạng toán này thì đó 
là một thiệt thòi cho học sinh nên rất cần thiết để Tôi đưa đề tài “Ứng dụng 
của hệ thức Vi – Ét để tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức chứa 
nghiệm của phương trình bậc hai” vào giảng dạy cho học sinh. Giúp các em 
có được những kiến thức hoàn thiện hơn. 
2. 2. Thực trạng của vấn đề. 
 a) Thuận lợi: 
 Năm học 2021 – 2022, trường THCS Phạm Hồng Thái là một ngôi 
trường có khuôn viên xanh sạch đẹp. Tuy là một ngôi trường ở địa bàn chưa 
được phát triển về kinh tế nhiều. Nhưng trường có bề dày thành tích ở đội ngủ 
giáo viên có nhiều giáo viên dạy giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, trường nhiều năm 
có số lượng học sinh đạt học sinh giỏi văn hóa và hội khỏe phù đổng nằm 
trong tốp 3, tốp 4. Ban giám hiệu, chuyên môn, công Đoàn rất quan tâm đến 
 3 
Đề bài: Cho phương trình x2 + 2mx – m - 2 = 0. 
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm xx12; sao cho xx12+=5 
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho x1+ x 2 =3 x 1 . x 2 − 1 
 33
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho xx12+=72 
 22
d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm sao cho xx12+ đạt giá trị 
nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 
 Kết quả: Đa số các học sinh làm được hai câu a và b. Nhưng đến câu c 
và d thì các em lúng túng. Đa số các em không làm được hai câu c và d. Cụ 
thể kết quả đạt được nhưu sau: 
 ĐIỂM 
 ĐIỂM KHÁ ĐIỂM TB ĐIỂM YẾU TỔNG SỐ 
 GIỎI 
LỚP 
 Số Số Số Số Số 
 % % % % % 
 bài bài bài bài bài 
 9A1 0 0 9 21,95 27 65,85 5 12,2 41 100 
 9A2 0 0 11 28,95 24 63,16 3 7,89 38 100 
 Nguyên nhân đẫn đến kết quả bài kiểm tra chưa tốt là vì do ý thức chủ 
quan của các em học sinh cho rằng môn toán là môn học khó. Cách nghỉ này 
ảnh hưởng đến tư tưởng của học sinh trong việc tìm ra cách học. 
 Trong mùa dịch Covid 15, các em phải học trực tuyến nên nội dung 
khó bị cắt giảm nhiều nên việc làm các bài toán ở mức vận dụng cao đặc biệt 
là dạng toán “tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm của 
phương trình bậc hai” đối với các em là cả một vấn đề khó khăn. 
 b) Tiến hành dạy thực nghiệm: 
 Để thực hiện đề tài này, Tôi đã tiến hành dạy thử nghiệm đối với mỗi 
lớp 2 tiết thuộc tuần học 28 và 29. Nội dung dạy thực nghiệm của Tôi như 
sau: 
 HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS NỘI DUNG 
 Bài 1. Cho phương trình 
- GV: Nêu yêu cầu bài toán. x22+2( m − 1) x + m − 3 = 0 (1) 
 5 
thỏa mãn xx12= 2 m2
 m2 22
- GV: Em hãy tìm giá trị của tham xm2
 x 2x 33
số m trong trường hợp này. 12 44
 x x 2(m 1) xm
 12 1 33
- HS: Thực hiện yêu cầu của giáo x .x m2 3
 12 4 4 2 2 
 m m m2 3
viên. 3 3 3 3
 m2
 m 8 3 11(tm)
 m 8 3 11(tm)
 Vậy, m 8 3 11 hoặc m 8 3 11 
 c) Để PT(1) có hai nghiệm thỏa 
 mãn thì 0 và 
- GV: Câu c tương tự câu b, các Tức là: m < 2 và (5) 
em về nhà làm 
- HS: lắng nghe Từ (4) và (5) ta có: 
- GV: Để PT(1) có hai nghiệm m 2 m 2
 1 1 x x
 11 1112
 xx12; thỏa mãn +=1 thì cần 
 x1 x 2 x 1 .x 2 
 xx12
 x1 x 2 2(m 1) x 1 x 2 2(m 1)
điều kiện gì? 22
 x1 .x 2 m 3 x 1 .x 2 m 3
- HS: : Để PT(1) có hai nghiệm 
 m2
 thỏa mãn thì 2(m 1) m2
 1;(m 3)
 m32 m 1 6(tm) 
PT(1) phải có hai nghiệm phân x x 2(m 1)
 12 m 1 6(tm)
 x .x m2 3
biệt thỏa mãn 12
 Vậy, m 1 6 hoặc m 1 6 
- GV: Em hãy tìm tham số m trong 
trường hợp này 
- HS: Thực hiện yêu cầu của giáo 
viên 
 7 
trình có hai nghiệm thỏa mãn 22
 x1+ x 2 =4( x 1 + x 2 ) 
các hệ thức sau: 2
 (x1 + x 2 ) − 4( x 1 + x 2 ) − 2 x 1 x 2 = 0 (4) 
 22
 x1+ x 2 =4( x 1 + x 2 ) Từ (2) và (4) suy ra: 
- HS: tìm m để phương trình có hai 422 − 4.4 − 2( −mm − 3 ) = 0
nghiệm thỏa mãn các hệ thức 2mm2 + 6 = 0 
sau: 2mm ( + 3) = 0
 =m 0 hoặc m =−3 
 Vậy, m = 0 hoặc thì phương 
 trình có hai nghiệm thỏa mãn 
- GV: Y/c HS tìm m để phương c) ta có: 
trình có hai nghiệm thỏa mãn 33
 xx12+=72 
 33
 3
các hệ thức sau: xx12+=72 
 (x1 + x 2) −3 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 ) = 72 (5) 
 Từ (2) và (5) ta có: 
 432− 3(mm − 3 ).4 = 72
- HS: tìm m để phương trình có hai 
 −12mm2 + 36 − 8 = 0
nghiệm thỏa mãn các hệ thức 3mm2 − 9 + 2 = 0 
 xx12;
sau: 9 57
 =m
 6
 9+ 57 9− 57
 Vậy, khi m = hoặc m = 
 6 6
 thì PT (1) có hai nghiệm thỏa mãn 
- GV: Khái quát bài toán 
 các hệ thức sau: 
 Bài 3. Cho phương trình 
 2x2 + 6 x + m = 0 (1) 
- GV: Nêu yêu cầu bài toán. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm 
- HS: Tìm hiểu bài toán. âm. 
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm 
 9 
 xx 2
thỏa mãn 12+ 2 cần điều ' 0 3 − 2m 0
 22
 xx21 xx xx+
 12+ 2 12 2
 xx
kiện gì? 21 xx12.
 9
- HS: Để PT (1) có hai nghiệm m 
 92 m 2
thỏa mãn thì cần điều 2 
 2 m
 ( x1+− x 2) 2. x 1 x 2 (−−3) 2.
 2 2
 xx. 2
 12 m
kiện 0 và 2
 9
- GV: Yêu cầu HS tìm điều kiện m 9 9
 2 m m 
 2 2
của m để PT (1) có hai nghiệm 9 − m 
 2 18− 2m 18− 2mm 2
 m 2 
 m m 0
 thỏa mãn 2 
 9
- HS: Tìm điều kiện của m để PT m 
 2
(1) có hai nghiệm thỏa mãn m 0
 9
 Vậy, m và m 0 thì PT (1) có có 
 2
 hai nghiệm thỏa mãn 
 xx;
 12 Bài 4. Cho phương trình 
- GV: Nêu yêu cầu bài toán. x2 + mx +10 = (*) 
- HS: Tìm hiểu Tìm m để phương trình có hai nghiệm 
 22
 xx 
 thỏa mãn 12+ 7 
- GV: Em hãy tìm điều kiện của m 
 xx21 
để PT (*) có hai nghiệm 
 Giải 
 - HS: Tìm điều kiện của m để PT Để PT (*) có hai nghiệm thì 
(*) có hai nghiệm 
 2 a 2
 0 a − 4 0 
 a 2
- GV: Em hãy tính tổng, tích hai 
 Khi đó, x12+ x = − a và xx12.1= ( xx12;0 ) 
nghiệm của PT (*) 
 Ta có: 
- HS: Tính tổng, tích hai nghiệm 
 11