Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp tìm hàm đại diện để tính tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi tốt nghiệp THPT

 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN 
 TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 4 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 Đề tài 
“Sử dụng phương pháp tìm hàm đại diện để tính tích phân 
hàm ẩn nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi tốt nghiệp THPT” 
 Môn: Toán học. 
 Tổ chuyên môn: Toán - Tin 
 Tác giả: Nguyễn Thị Hương 
 Đơn vị : Trường THPT Quỳnh Lưu 4 
 Số ĐT: 0346431688 
 Năm thực hiện: 2022 - 2023 
 Bản thân nhận thấy trong các bài toán tính tích phân hàm ẩn và bài toán ứng 
dụng tích phân vào tính diện tích, thể tích có một lớp bài toán việc sử dụng và đưa 
về hàm đại diện học sinh rất thích thú và đạt hiệu quả rõ trong quá trình ôn thi tốt 
nghiệp THPT. 
 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 
 - Vì đối tượng học sinh các lớp tôi dạy là các học sinh có học lực yếu, trung 
bình, khá nên các bài tập tôi đưa ra phù hợp với đối tượng học sinh và đề tài này sẽ 
dùng cho được các trường bán công, công lập, có những bài phù hợp với đối tương 
ôn thi học sinh giỏi, thi đánh giá năng lực, phù hợp cho đối tượng học sinh ôn thi 
tốt nghiệp THPT đạt mức điểm từ 8 đến 9. 
 - GV giảng dạy môn toán bậc THPT. 
 - GV dạy bồi dưỡng HSG, giáo viên dạy ôn thi tốt nghiệp THPT. 
 - Học sinh THPT ôn thi tốt nghiệp THPT. 
 5. Phương pháp nghiên cứu: 
 - Nghiên cứu về phương pháp tính tích phân hàm ẩn 
 - Đề thi tốt nghiệp THPT của các năm, đề minh họa của Bộ giáo dục, đề thi thử. 
 - Dựa vào thực tiễn quá trình giảng dạy. 
 - Dựa vào định nghĩa và các tính chất của tích phân. 
 - Lấy ý kiến của đồng nghiệp về mức độ khả thi của đề tài. 
 PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 
 1. Cơ sở khoa học: 
 1.1. Cơ sở lý luận: 
 Trong thời đại hiện nay công nghệ thông tin ngày càng phát triển, kéo theo 
các loại máy tính cầm tay ngày càng hiện đại việc sử dụng máy tính cầm tay tính 
tích phân hàm tường minh dễ dàng do đó đề thi tốt nghiệp THPT đòi hỏi phải đổi 
mới các bài toán tìm tích phân hàm tường minh đa số đã chuyển sang tính tích 
phân hàm ẩn. 
 Tổng quan lý luận về định hướng tìm lời giải các bài toán tìm tích phân hàm 
ẩn thực chất đó là đưa về hàm tường minh bởi hàm ẩn là vỏ bọc bên ngoài mà ta 
cần phá bỏ lớp vỏ đó. 
 Đề tài cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức về phương pháp khả năng 
tư duy, khả năng quy lạ về quen đưa những bài toán phức tạp trở thành bài toán 
tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán và đề tài cung cấp cho 
học sinh hệ thống bài tập trắc nghiệm phù hợp với xu thế của đề thi tốt nghiệp 
THPT hiện nay. 
 2 b b
 Ký hiệu: f()()()() x dx F x F b F a (1). 
 a a
 Công thức (1) được gọi là công thức Newton-Leibnitz, a là cận dưới, b là cận 
trên của tích phân. 
1.1.2.Ý nghĩa hình học của tích phân. 
 Giả sử hàm số y f() x là hàm số liên tục và không âm trên ab,  . Khi đó tích 
 b
phân f() x dx chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục 
 a
hoành Ox và hai đường thẳng x a,, x b Với ab . 
 b
 S f() x dx . 
 a
1.1.3. Tính chất cơ bản của tích phân. 
 Cho hàm số f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục trên khoảng K, trong đó K có thể 
là khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn và a,b,c K. Khi đó: 
 b
 a) Nếu b = a thì f( x ) dx 0 
 a
 b) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên thì ta có: 
 b b
 f ()()()() x dx f x f b f a 
 a a
 c) Tính chất tuyến tính: 
 b b b
 kfx.().()()() hgxdx k fxdx hgxdx , với mọi k, h R . 
 a a a
 b c b
 d) Tính chất trung cận fxdx()()() fxdx fxdx , với c a; b 
 a a c
 ba
 e) Đảo cận f()() x dx f x dx 
 ab
 b b
 f) Nếu f( x ) 0,  x  a ; b thì f( x ) dx 0 và f( x ) dx 0 khi fx( ) 0 . 
 a a
 bb
 g) Nếu f( x ) g ( x ),  x  a ; b thì f()() x dx g x dx . 
 aa
 4 Đề số 1. (Trước khi thực hiện đề tài) 
 Bài 1. (VD) Cho hàm số y f() x có đạo hàm, liên tục trên và 
 a dx
 f( x ) 0  x  0; a. Biết f( x ) f ( a x ) 1.Tính tích phân I 
 0 1 fx ( )
 a a a
 A. B. 2a C. D. 
 2 3 4
 1 2 3
 Bài 2. (VD) Cho f(2 x 1) dx 12 và f(sin2 x )sin 2 xdx 3 . Tính f() x dx 
 0 0 0
 A. 26 B. 22 C. 15 D. 27. 
 Bài 3. (VDC)Cho hàm số fx liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện 
 1
 f x 2 f 1 x 3 x2 6 x ,  x  0;1 . Tính I f 1d x2 x
 0 
 2 4 2
 A. I B. I 1 C. I D. I 
 15 15 15
 “Chọn đáp án đúng và trình bày cách thức làm để có thể chọn được đáp án đó”
 (thời gian làm bài 45 phút) 
 Kết quả thu đươc sau khi làm đề kiểm tra: 
 * Năm học 2021 - 2022 tôi đã tiến hành thực nghiệm đề tài này cho các học 
sinh có lực học từ trung bình, khá, giỏi của các lớp cơ bản tại các lớp tôi dạy của 
trường THPT Quỳnh Lưu 4. Tôi đã thu được các kết quả sau: 
 Bảng 2.Kết quả bài kiểm tra số 1 (Trước khi dạy chuyên đề) 
 Số lượng học Số học sinh Số học sinh 
 Số học sinh 
 Đơn vị lớp sinh được không làm không đủ thời 
 làm được 
 khảo sát được gian làm 
 12A5 20 11 3 6 
 12A7 20 14 1 5 
 12A10 20 12 2 6 
 3. Các giải pháp: 
 3.1. Lựa chọn hàm đại diện là hàm hằng 
 - Giải pháp 1: Các hàm số có biến x thay đổi nhưng hàm số không thay đổi ta 
chọn hàm đại diện là hàm hằng và đặt f(x) = a ( trong đó a là hằng số ). 
Bài toán 1. Cho hàm số fx() có đạo hàm liên tục và dương trên , 
 f(0). f (2018 x ) 1. 
 2018 dx
 Tính I 
 0 1 fx ( )
 A. I = 2018 B. I = 1009 C. I = 0 D. I = 4016. 
 6 Bài giải 
 Vì f(x) là hàm số chẵn và liên tụcy trên f ()[ x-1; 1] nên ta chọn hàm đại diện là hàm 
 a
 11 dx
sốf( xhằng ) 0  f(x) x  0;= aa. Khi fđó( x ) f (f a x x ) dx 1. adx 2 a 2 aI 1 
 0 1 fx ( )
 11 
 1f( x ) 1 1 1 ex 1 e x 1 e x
 I dx dx dx (1 ) dx 
 x x x x
 11 e 1 1 e 1 1 e 1 1 e
 1
 = (xe ln |1 x |) 1. 
 1
 Chọn A. 
 1 2
Bài toán 4. Cho 1 x2 f x d x 10 . Tính I cos3 xf sin x d x . 
 0 0
 AI.5 BI. 10 CI. 10 DI.5 
 Bài giải. 
 1
 Phân tích: Giả thiết cho một điều kiện 1 x2 f x d x 10 và hàm số fx 
 0
chưa đánh giá được có sự thay đổi khi x thay đổi hay không nên chọn hàm đại 
diện là f x ax hoặc f x a có một tham số. Vì vậy, thử chọn f x a . 
 112 30
 Ta có 1 x22 f x d x 10 1 x a d x 10 a 10 a . 
 0032
 30
 Suy ra fx . 
 2
 2230
 Ta có: I cos33 xf sin x d x cos x d x 10.
 2
 00 
 Chọn C.
 Bài tập. 
Bài 1. Cho hàm số có đạo hàm, liên tục trên và . Biết 
 Tính tích phân 
 a a a
 A. B. 2a C. D. .
 2 3 4 
Bài 2. Cho hàm số có đạo hàm, liên tục trên và f( x ) 0  x  0;5. Biết 
 8 9 9 81a 2 2
 Khi đó f x dx = axdx = = 9 a = . Do đó f(x) = x. 
 0 0 2 9 9
 4 42 4 2 2
 Vậy f(3 x 3) dx (3 x 3) dx ( x ) dx 3. 
 1 19 1 3 3
 Chọn B 
 1
Bài toán 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên , và thỏa mãn f x dx = 10. 
 2 x 0
Tính tích phân f () dx ? 
 2
 0
 5
 A. B.20 C.10 D.5 
 2
 Bài giải 
 Phân tích: Tương tự như ví dụ 1 ta chọn hàm đại diện là: 
 1 a
 f(x) = ax, khi đó axdx = = 10 a = 20. 
 0 2
 2 x
 Vậy 20dx 20. 
 0 2
 Chọn B. 
 Nhận xét qua bài này ta thấy rất đơn giản và nhẹ nhàng đối với học sinh 
 5
Bài toán 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên , và thỏa mãn f x dx 4 . Tính tích 
 1
 2
phân f 21 x dx ? 
 1
 5 3
 A. 2 B. C. 4 D. . 
 2 2
 Bài giải 
 5 1
 Đặt f(x) = ax Khi đó axdx 12 a 4 a = . 
 1 3
 2 2 1
 f 21 x dx 2x 1 dx 2 . 
 1 1 3
 Vậy chọn A. 
 1
Bài toán 4 Cho hàm số fx liên tục trên và thỏa mãn f x d9 x . Tính tích 
 5
 2
phân f 1 3 x 9 d x . 
 0
 A.15. B.27. C.75. D.21. 
 [CHUYÊN BIÊN HÒA - 2020] 
 10 1
Bài toán 8. Cho hàm số f(x) liên tục trên , và thỏa mãn f x dx 1. Tính tích 
 0
 4
phân (tan2 x 1) f ( t anx)dx=? 
 0
 A. 1. B. -1. C. . D. - . 
 4 4
 Bài giải. 
 11a
 Đặt f(x) = ax, Khi đó f x dx axdx 12 a 
 002
 44
 Vậy (tan22x 1) f ( t anx)dx=2 (tan x 1) t anx dx 1.
 00 
 Chọn A.
 2 2 sinx.fx 3cos 1 
Bài toán 9. Cho f x dx 2. Tính giá trị của biểu thức J = ?. 
 1 0 3cosx 1
 4 4
 A. 2. B. . C. . D. -2. 
 3 3
 (THPT YÊN KHÁNH –Ninh bình lần 4 năm 2018-2019) 
 Bài giải 
 2234a
 Đặt f(x) = ax . Khi đó f x dx axdx 2. a 
 23
 11 
 2sinx.f 3cos x 1 4 2 sinx. 3cos x 1 4 2 4 4
 Vậy J = sin xdx cos x 2 
 3cosxx 13 3cos 1 3 3 3
 0 0 0 0 
 Chọn C. 
 9 3
Bài toán 10. Cho f x dx 3021.Tính tích phân :I =  f(3 x ) f (9 3 x ) dx ?
 0 0 
 A.I = 0. B. I = 4046. C. I = 2014. D. I = 1009 
 Bài giải 
 9981a 6042
 Đặt f(x) = ax . Khi đó f x dx axdx 3021 a .
 2 81
 00 
 Tính tích phân : 
 3 3 6042 6042 6042 3
 I =  fxf(3 ) (9 3 xdx ) 3 x (9 3 xdx ) dx 2014 
 0 0 81 81 9 0
 Chọn C. 
Bài toán 11. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên , ff(0) 0, (0) 0 và thỏa 
mãn hệ thức fxfx(). ()18 x22 (3 xxfx ) ()(6 x 1)(); fxx  . 
 1
 Biết (x 1) efx( ) dx ae 2 b ,( a , b ). Giá trị của a – b bằng 
 0
 12