Sáng kiến kinh nghiệm Sáng tạo các bài toán góc trong không gian trên các mô hình hình học

 c) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình lăng trụ .............................................. 24 
2.4.2. Bài toán xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .................... 27 
2.4.2.1. Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ............................ 27 
1) Tính theo định nghĩa ........................................................................................... 27 
2) Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .................................................. 27 
2.4.2.2. Sáng tạo bài toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trên mô hình hình 
học ........................................................................................................................... 27 
a) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ diện ............................................... 27 
b) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình hình chóp tứ giác .............................. 32 
c) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình lăng trụ .............................................. 35 
2.4.3. Bài toán xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng ........................................ 37 
2.4.3.1. Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng ................................................. 37 
1) Tính theo định nghĩa ........................................................................................... 37 
2) Tính góc dựa vào giao tuyến hai mặt phẳng cắt nhau ........................................ 38 
3) Tính theo công thức hình chiếu .......................................................................... 38 
2.4.3.2. Sáng tạo bài toán góc giữa hai mặt phẳng trên mô hình hình học ............. 38 
a) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ diện ............................................... 38 
b) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình hình chóp tứ giác .............................. 40 
c) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình lăng trụ .............................................. 42 
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................ 45 
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ....................................................................... 45 
3.2. Đối tượng thực nghiệm .................................................................................... 45 
3.3. Tiến hành thực nghiệm ..................................................................................... 45 
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................... 51 
1. Quá trình nghiên cứu ........................................................................................... 51 
2. Ý nghĩa của đề tài ................................................................................................ 52 
3. Kiến nghị ............................................................................................................. 52 
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 53 
 2 
 1.4. Tính mới và sáng tạo của đề tài 
 +) Xây dựng được các bài toán mới về xác định và tính góc trong mô hình 
hình học, khái quát hóa các phương pháp khi thay đổi các yếu tố của giả thiết trong 
mô hình. 
 +) Đưa các bài toán trên lí thuyết lồng vào thực tế để học sinh trải nghiệm tính 
hiệu quả của các phương pháp từ đó phát triển được các năng lực mô hình hóa, 
năng lực tính toán và các kĩ năng quan sát, phán đoán, nhận xét. 
1.5. Đối tượng nghiên cứu 
 Quá trình dạy học các nội dung Hình Học 11 – phần quan hệ vuông góc trong 
không gian. 
1.6. Giới hạn của đề tài 
 Đề tài tập trung và nghiên cứu các tính chất hình học từ đó đưa ra phương án 
xác định và tính góc trong các mô hình hình học. 
1.7. Phương pháp nghiên cứu 
 Phương pháp nghiên cứu lí luận, điều tra quan sát, thực nghiệm sư phạm. 
1.8. Bố cục của đề tài SKKN 
 Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày 
trong 3 chương. 
 Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. 
 Chương 2. Sáng tạo các bài toán góc trong không gian trên các mô hình hình 
học . 
 Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. 
 Phụ lục: Hướng dẫn học sinh thực hành đo góc trong thực tế. 
 Một số kí hiệu thường dùng 
 Kí hiệu Tên gọi 
 (ab, ) Góc giữa hai đường thẳng a và b 
 (a,( )) Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) 
 (( ),( )) Góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) 
 4 
 sinh hiểu được, làm được, vận dụng được các tính chất trên các mô hình hình học 
để tính được góc giữa các đối tượng của mô hình đó. 
1.3. Cơ sở thực tiễn 
 Để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài, chúng tôi tiến hành khảo sát đối với 
học sinh và giáo viên trực tiếp giảng dạy chủ đề góc trong không gian. 
 Để xác định thực trạng của việc học bài toán góc trong không gian của học 
sinh, chúng tôi thực hiện việc kiểm tra mức độ thường xuyên đối với việc giảng 
dạy, hệ thống hóa các kiến thức và phương pháp, xây dựng các bài toán mới nhưng 
quen thuộc trên các mô hình hình học, chúng tôi tiến hành khảo sát 50 học sinh mà 
mình không trực tiếp giảng dạy, kết quả thu được như sau: 
Bảng 1: Kết quả thăm dò học sinh khi học bài toán tính góc trong không gian 
 TT Nội dung Không Thường xuyên 
 thường xuyên 
 SL TL SL TL 
 1 Thầy cô có thường xuyên dạy bài toán 30 60% 20 40% 
 tính góc trong không gian cho học sinh? 
 2 Thầy cô có hệ thống lại kiến thức và nêu 
 ra các phương pháp giải cho học sinh tính 26 52% 24 48% 
 góc cho học sinh không? 
 3 Thầy cô có chia bài toán tính góc thành 
 các dạng toán trên các mô hình tứ diện, 39 78% 11 22% 
 chóp tứ giác, lăng trụ riêng biệt không? 
 4 Thầy cô có chỉ rõ cách xác định và tính 
 góc cụ thể giữa các đối tượng cạnh và 35 70% 15 30% 
 mặt trong các mô hình không? 
Phân tích: Kết quả hàng 1 chứng tỏ rằng học sinh cảm nhận việc học phần tính góc 
đang còn ít, thầy cô vẫn chưa thường xuyên cho các em làm bài tập về xác định và 
tính góc nên tỷ lệ thường xuyên thập hơn. Kết quả hàng 2 thấy rằng ngang nhau, 
như vậy có một nửa số giáo viên vẫn chưa hệ thống lại cho các em các phương 
pháp để tính góc, hay là chia ra quy trình bước 1 cần làm gì, bước 2 cần làm gì,. 
Kết quả ở hàng thứ 3 đánh giá rằng, thầy cô vẫn chưa hệ thống theo mô hình, các 
bài tập vẫn đang chung chung và không rõ ràng cho học sinh nên tỷ lệ học sinh 
hình dung được hệ thống chỉ khoảng 1/5 trên tổng số điều tra. Kết quả hàng thứ 4 
thấy được thực trạng học sinh không được rèn luyện các bài toán quen thuộc trên 
những mô hình nhất định, khi gặp tính huống như thế nên xử lí như thế nào. Đánh 
giá chung chúng tôi thấy cần phải hệ thống lại phương pháp, hệ thống lại mô hình 
và tạo ra các bài toán lạ mà quen trên các mô hình hình học. 
 Bên cạnh việc xác định thực trạng trên đối tượng học sinh, chúng tôi tiến 
hành xác định thực trạng trên đối tượng là giáo viên, những người trực tiếp giảng 
dạy cho các em phần xác định và tính góc trong không gian thông qua việc kiểm 
 6 
 hình tứ diện, hình chóp tứ giác, hình lăng trụ, đây là các mô hình thường gặp khi 
giải toán với các bài toán tính góc theo định hướng các giải pháp sau: 
 Giải pháp 1: Sáng tạo các bài toán tính góc trên mô hình tứ diện 
 Mô hình tứ diện là hình gồm bốn mặt, đặc điểm của mô hình này là số mặt ít 
nhất và học sinh được tiếp cận sớm nhất khi học sinh mới bắt đầu chương trình 
hình học không gian. Trên mô hình này, chúng tôi tiến hành cho học sinh xác định 
và tính góc với tứ diện đều có tất cả các mặt là tam giác đều, tất cả các cạnh bằng 
nhau, sau đó lần lượt thay đổi độ dài các cạnh để tạo thành các tứ diện bất kì. Một 
mô hình tứ diện thứ 2 là mô hình tứ diện có một cạnh vuông góc với một mặt, 
thường chúng ta hay nói là hình chóp tam giác có một cạnh bên vuông góc với mặt 
đáy, sau đó thay đổi tính chất vuông góc để tạo ra các mô hình tiếp theo như hình 
chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy, hình chóp tam giác đều Với việc tạo ra 
các bài toán trên các mô hình tứ diện này, chúng ta đã luyện tập thành công cho 
học sinh phương pháp xác định và tính góc. 
 Giải pháp 2: Sáng tạo các bài toán tính góc trên mô hình hình chóp tứ giác 
 Hai đối tường hình học mà học sinh đã quen thuộc từ cấp hai là tam giác và 
tứ giác. Đối với tứ giác, các hình có nhiều tính chất đặc biệt, mỗi tính chất đặc biệt 
tạo ra một loại hình như tứ giác khi có một cặp cạnh đối song song ta thu được 
hình thang, khi có hai cặp cạnh đối song song ta thu được hình bình hành, tương tự 
như thế cho sự tạo thành của các hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông. Bởi vậy 
giải pháp tứ hai mà đề tài muốn đề cập đến là xác định tính góc trên mô hình hình 
chóp tứ giác bởi những tính chất đẹp của chúng bằng việc sáng tạo ra các bài toán 
tính góc phù hợp, dẫn dắt được đối tượng học sinh. 
 Giải pháp 3: Sáng tạo bài toán tính góc trên mô hình hình lăng trụ 
 Lăng trụ chương trình hình học không gian hướng đến là lăng trụ tam giác 
và lăng trụ tứ giác, trong lăng trụ tứ giác khi đáy là các hình đặc biệt như hình bình 
hành, hình chữ nhật, hình thoi, chúng ta thu được các hình hộp, khi các cạnh bên 
vuông góc với mặt đáy ta thu được các hình hộp chữ nhật, hình lập phương, đó 
chính là các mô hình quen thuộc trong thực tế, bởi vậy giải pháp thứ ba đề tài 
hướng đến là tính góc trong mô hình lăng trụ với việc sáng tạo các bài toán tính 
góc đơn giản giữa đối tượng đường và mặt. 
 Tính cấp thiết của các giải pháp 
 Để xác định tính cấp thiết của đề tài, chúng tôi tiến hành làm phiếu khảo sát 
đối với 30 giáo viên môn toán bằng phần mềm Google Form qua link 
https://forms.gle/wr7ZhduBfsbUg6mq7 và xử lí các số liệu bằng bảng tính Excel, 
chúng tôi thu được kết quả như sau: 
 Phiếu khảo sát tính cấp thiết của các giải pháp đưa ra 
 (M1: Không cấp thiết, M2: Ít cấp thiết, M3: Cấp thiết, M4: Rất cấp thiết) 
 8 
 Chương 2. SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN GÓC TRONG KHÔNG GIAN 
TRÊN CÁC MÔ HÌNH HÌNH HỌC 
2.1. Một số kiến thức cơ bản 
1) Góc giữa hai đường thẳng 
 Góc giữa hai đường thẳng a và b trong 
không gian là góc giữa hai đường thẳng a' và b' 
cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với 
 a
hai đường thẳng a và b 
 b
Nhận xét: 
 b'
+) 000 ab , 90 ; ab,0= 0 ab, song song hoặc 
 ( ) ( ) a' O
trùng nhau. 
+) Nếu ab, lần lượt là vec-tơ chỉ phương của hai đường thẳng ab, thì 
 (a,, b) = ( a b) nếu 000 (ab ,) 90 và (a, b) =− 1800 ( a , b) nếu 9000 (ab ,) 180 
2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 Cho đường thẳng d và mặt a
phẳng ( ) . Trường hợp d ⊥ ( ) ta nói S
góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng 
 0
 ( ) bằng 90 . Trường hợp đường thẳng O
 H
 d không vuông góc với ( ) thì góc giữa 
 d d ' α
 và hình chiếu của nó trên ( ) gọi 
là góc giữa đường thẳng d và mặt 
phẳng ( ) . 
3) Góc giữa hai mặt phẳng 
 Góc giữa hai mặt phẳng là 
góc giữa hai đường thẳng lần lượt a b
vuông góc với hai mặt phẳng đó. 
 β
 α
2.2. Phân tích các bài toán xác định và tính góc trong chương trình hiện hành. 
 Sau đây, đề tài xin trích dẫn và phân tích một số bài toán về xác định và tính 
góc trong chương trình sách giáo khoa, trong các kì thi THPT Quốc gia, thi tốt 
nghiệp và thi học sinh giỏi tỉnh. 
 10 
 Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành S
 ABCD. Khi đó AB∥ CD nên 
 ( AB,, SC) = ( CD SC). 
 C
Dễ thấy ABC là tam giác vuông cân tại 
 A
 nên tứ giác ABCD là hình vuông cạnh A
 a AD= a 2
 , suy ra . Lại có tam giác I
 SBC vuông cân tại S nên D
 12a
 SI== BC . B
 22 
 1
Xét tam giác SAD có trung tuyến SI= AD nên tam giác SAD vuông tại S và 
 2
 AD
 SA = nên cũng là tam giác vuông cân, do đó SD== SA a SCD đều. 
 2
Vậy ( AB, SC) =( CD , SC) = SCD = 600 . 
Bài toán 2: (Trích đề HSG lớp 12 Tỉnh Nghệ An năm học 2022-2023) Cho hình 
chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh BC= a , tam giác SAB cân tại S 
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt 
 a
phẳng (SCD) bằng và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( ABCD) một góc , 
 2
 1
với tan = . Tính sin góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (SAD). 
 2
 Lời giải 
Cách 1: Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
Gọi H là trung điểm cạnh AB , tam giác S
 SAB cân tại S nên SH⊥ AB; 
 (SAB) ⊥( ABCD) SH ⊥ ( ABCD) . 
Ta có AB∥ ( SCD)
 d A,,, SCD = d AB SCD = d H SCD
 ( ( )) ( ( )) ( ( )) . K
 N E
Kẻ HF⊥ CD tại F ⊥CD( SHF ) . Kẻ 
 HK⊥ SF tại K ⊥HK( SCD) I D
 A
 a
 d( A,( SCD)) = HK = và F
 2 H
 (SC,( ABCD)) == SCH . B M C
 1 1 1 2 1 1
Xét tam giác vuông SHF có = + = + SH = a . 
 HK2 SH 2 HF 2 a 2 SH 2 a 2
 SH a
Xét tam giác SHC có HC= = = a 2 , SC= SH22 + HC = 3 a . 
 tan 1
 2
 12