Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số dạng toán về sự tương giao của đường thẳng và Parabol

“ Hàm số và đồ thị” là một trong những dạng toán rất quan trọng, trong đó dạng toán “sự tương giao của đường thẳng và Parabol” là dạng toán thường gặp và hay xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội và thường có số điểm từ 1 đến 1,5 điểm, một số điểm khá cao. Việc nắm vững phương pháp giải dạng toán này không chỉ giúp học sinh học tốt môn Toán mà còn hỗ trợ cho nhiều môn học khác. Qua đó thúc đẩy thêm lòng yêu thích, đam mê Toán học.

“Sự tương giao của đường thẳng và Parabol” là dạng toán có liên quan chặt chẽ đến bài toán về phương trình bậc hai, là dạng toán rất phong phú và đa dạng. Đây cũng là dạng toán mà nhiều em học sinh đánh giá là khó.

Thực tế qua quá trình giải các bài tập thuộc dạng bài tập này của học sinh cho thấy vấn đề khó khăn nhất của học sinh khi giải loại bài tập này chính là việc hiểu đề bài và tìm ra mối liên hệ giữa yêu cầu của bài toán với bài toán tương ứng của phương trình bậc hai.

Ngoài ra cũng có thể do khi dạy giáo viên mới chỉ truyền đạt cho học sinh những kiến thức theo sách giáo khoa mà chưa chú ý đến việc phân loại các dạng toán và khái quát nên phương pháp giải cho từng dạng.

Với giáo viên việc nắm vững và hệ thống được phương pháp giải của dạng bài tập này sẽ là tiền đề để có những bài giảng hay, làm cho kho kiến thức của mình ngày càng phong phú và đa dạng. Đối với các em học sinh việc hiểu rõ về phương pháp giải dạng bài tập này sẽ giúp các em khắc phục được những hạn chế trước đây, giúp các em có thêm sự tự tin, lòng ham mê học toán và đặc biệt là giúp các em học sinh lớp 9 nâng cao kết quả thi tuyển sinh vào THPT.

Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chọn đề tài sáng kiến:

Phương pháp giải một số dạng toán về sự tương giao của đường thẳng và Parabol

doc 18 trang Thanh Ngân 09/07/2025 140
Bạn đang xem tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số dạng toán về sự tương giao của đường thẳng và Parabol", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số dạng toán về sự tương giao của đường thẳng và Parabol

Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số dạng toán về sự tương giao của đường thẳng và Parabol
 1/15
 PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ
 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 “ Hàm số và đồ thị” là một trong những dạng toán rất quan trọng, trong đó 
dạng toán “sự tương giao của đường thẳng và Parabol” là dạng toán thường gặp 
và hay xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội và thường 
có số điểm từ 1 đến 1,5 điểm, một số điểm khá cao. Việc nắm vững phương 
pháp giải dạng toán này không chỉ giúp học sinh học tốt môn Toán mà còn hỗ 
trợ cho nhiều môn học khác. Qua đó thúc đẩy thêm lòng yêu thích, đam mê 
Toán học.
 “Sự tương giao của đường thẳng và Parabol” là dạng toán có liên quan 
chặt chẽ đến bài toán về phương trình bậc hai, là dạng toán rất phong phú và đa 
dạng. Đây cũng là dạng toán mà nhiều em học sinh đánh giá là khó. 
 Thực tế qua quá trình giải các bài tập thuộc dạng bài tập này của học sinh 
cho thấy vấn đề khó khăn nhất của học sinh khi giải loại bài tập này chính là 
việc hiểu đề bài và tìm ra mối liên hệ giữa yêu cầu của bài toán với bài toán 
tương ứng của phương trình bậc hai.
 Ngoài ra cũng có thể do khi dạy giáo viên mới chỉ truyền đạt cho học sinh 
những kiến thức theo sách giáo khoa mà chưa chú ý đến việc phân loại các dạng 
toán và khái quát nên phương pháp giải cho từng dạng.
 Với giáo viên việc nắm vững và hệ thống được phương pháp giải của 
dạng bài tập này sẽ là tiền đề để có những bài giảng hay, làm cho kho kiến thức 
của mình ngày càng phong phú và đa dạng. Đối với các em học sinh việc hiểu rõ 
về phương pháp giải dạng bài tập này sẽ giúp các em khắc phục được những hạn 
chế trước đây, giúp các em có thêm sự tự tin, lòng ham mê học toán và đặc biệt 
là giúp các em học sinh lớp 9 nâng cao kết quả thi tuyển sinh vào THPT.
 Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chọn đề tài sáng kiến: 
“Phương pháp giải một số dạng toán về sự tương giao của đường thẳng và 
Parabol” 
 II. Thời gian nghiên cứu: 
 - Thời gian: năm học 2020 – 2021; năm học 2021 – 2022.
 III. Đối tượng nghiên cứu: 
 - Học sinh khối 9 trường THCS Lương Thế Vinh:
 + Lớp 9C - Năm học 2020 -2021.
 + Lớp 9D - Năm học 2021 -2022.
 IV. Phạm vi nghiên cứu:
 - Kiến thức Đại số 9, chương IV.
 V. Số liệu khảo sát trước khi thực hiện đề tài: 3/15
 + Cần phải xác định rõ bài toán về “ sự tương giao của đường thẳng và 
Parabol” này tương ứng với bài toán về phương trình bậc hai nào.
 + Khi kết luận cần chú ý so sánh với điều kiện nếu có.
- Bài toán về “sự tương giao của đường thẳng và Parabol” có nhiều dạng khác 
nhau, tuy nhiên chúng ta có thể phân loại thành các dạng hay gặp như sau:
 1. Xác định tọa độ giao điểm giữa đường thẳng và Parabol.
 2. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng và Parabol cắt nhau tại hai 
điểm phân biệt, tiếp xúc với nhau hoặc không giao nhau.
 3. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng và Parabol cắt nhau tại hai 
điểm phân biệt có hoành độ giao điểm thỏa mãn điều kiện về dấu.
 4. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng và Parabol cắt nhau tại hai 
điểm phân biệt có hoành độ hoặc tung độ giao điểm thỏa mãn điều kiện cho 
trước.
 5. Bài toán có liên quan đến độ dài đoạn thẳng, diện tích tam giác.
2. Phương pháp giải
* Đây là loại bài tập khó có nhiều dạng khác nhau, để giải được các bài tập 
thuộc dạng toán về “sự tương giao của đường thẳng và Parabol” cần chú ý các 
điều sau:
- Cần chú ý đến cách xác định tọa độ giao điểm giữa đường thẳng và Parabol:
+ Bước 1.Xác định hoành độ giao điểm:
Cho đường thẳng (d): y bx c và Parabol (P): y ax2 a 0 thì hoành độ 
giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình:
 ax2 bx c ax2 bx c 0 (1) ( Phương trình hoành độ giao điểm).
Giải phương trình (1) sẽ tìm ra hoành độ giao điểm
+ Bước 2. Xác định tung độ giao điểm:
Thay giá trị hoành độ giao điểm tìm được ở bước 1 vào (d) hoặc (P) tìm ra tung 
độ giao điểm tương ứng.
- Sự tương giao của đường thẳng (d): y bx c và Parabol (P): y ax2 a 0 
Xét phương trình: ax2 bx c ax2 bx c 0 (1) 
 • (d) và (P) không có điểm chung ( không giao nhau) 
 Phương trình (1) vô nghiệm
 • (d) và (P) tiếp xúc nhau 
 Phương trình (1) có nghiệm kép.
 • (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt (cắt nhau tại hai điểm phân biệt)
 Phương trình (1) có hai điểm phân biệt. 5/15
Vậy đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm có tọa độ là: 1;1 và 3;9 .
b. Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của 
phương trình: x 2 4x 4 x 2 4x 4 0 (1)
 ' 2
Ta có: ( 2) 1.4 0 phương trình (1) có nghiệm kép x1 x2 2
Thay x 2 vào (P) ta được: y 22 4
Vậy đường thẳng (d) tiếp xúc Parabol (P) tại điểm có tọa độ: 2;4 
c. Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của 
phương trình: 2x 2 x 5 2x 2 x 5 0 (1)
Ta có: 12 4.2.5 39 0 phương trình (1) vô nghiệm.
Vậy đường thẳng (d) và Parabol (P) không cắt nhau.
c. Bài tập tự luyện. Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol 
(P) trong các trường hợp sau:
a. Cho đường thẳng (d): y 2x 6 và parabol (P): y x2 .
 1
b. Cho đường thẳng (d): y 2x 3 và parabol (P): y x2 .
 3
c. Cho đường thẳng (d): y x 4 và parabol (P): y 2x2 .
3.2. Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng và Parabol cắt nhau 
tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc với nhau, không giao nhau.
a. Phương pháp giải:
Giả sử đường thẳng (d): y ax c và Parabol (P): y ax2 a 0 
Bước 1: Xét PT hoành độ giao điểm của (d) và (P):
 ax2 bx c ax2 bx c 0 (1) xác định hệ số a,b,c
Bước 2: Tính ' 
Bước 3: Dựa vào đề bài để lập lập luận:
 • (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt (cắt nhau tại hai điểm phân biệt)
 Phương trình (1) có hai điểm phân biệt.
 ' 0
 • (d) và (P) tiếp xúc nhau 
 Phương trình (1) có nghiệm kép.
 ' 0
 • (d) và (P) không có điểm chung ( không giao nhau) 
 Phương trình (1) vô nghiệm
 ' 0
Bước 4: Kết luận 7/15
 b
 x x 
 1 2 a
- Bước 4: Viết hệ thức Viet 
 c
 x  x 
 1 2 a
- Bước 5: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn các điều kiện đề bài:
+ (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dấu ( hai điểm 
cùng nằm về một phía so với trục tung) 
 PT (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu x1.x2 0
+ (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dương ( hai điểm 
cùng nằm về bên phải so với trục tung) 
 x1.x2 0
 PT (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương 
 x1 x2 0
+ (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ cùng âm ( hai điểm 
cùng nằm về bên trái so với trục tung) 
 x1.x2 0
 PT (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm 
 x1 x2 0
+ (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu ( hai điểm cùng 
nằm về hai phía khác nhau so với trục tung) 
 PT (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu x1.x2 0.
+ Bước 6: Đối chiếu điều kiện (*) và kết luận.
b. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y 3x m 1
và parabol (P): y x2 . Tìm m để:
a) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về một phía so với trục tung. Khi 
đó hai giao điểm nằm ở phía nào so với trục tung.
b) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về hai phía khác nhau so với trục 
tung.
Giải: Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của 
phương trình: x2 3x m 1 x2 3x m 1 0 (1)
 a 1;b 3;c m 1 
Có b2 4ac 3 2 4.1. m 1 9 4m 4 4m 5
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1; x2
 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2
 5
 0 4m 5 0 m (*)
 4 9/15
 b
 x x 
 1 2 a
- Bước 4: Viết hệ thức Viet 
 c
 x  x 
 1 2 a
- Bước 5: Biến đổi điều kiện cho trước đó theo x1 x2 và x1.x2 . Kết hợp hệ thức 
Vi ét, dùng phương pháp thế để tìm tham số hoặc nghiệm để thỏa mãn các điều 
kiện đề bài.
- Bước 6: Đối chiếu điều kiện (*) của tham số và kết luận.
b. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình y x2 
và đường thẳng (d) có phương trình: y 2x m (với m là tham số).
Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa 
 2 2 2 2
mãn hệ thức x1 x2 6x1 x2 .
Giải: + Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
 x2 2x m 
 x2 2x m 0 (1) a 1;b 2;b' 1;c m 
+ Có ' b' 2 ac 12 1. m 1 m
+ Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 
 PT (*) có hai nghiệm phân biệt x1; x2
 ' 0 1 m 0 m 1 (*)
 b 2
 x x 2
 1 2 a 1
+ Theo định lý Vi – et có: 
 c m
 x  x m
 1 2 a 1
 2 2 2 2
+ Theo đề bài có: x1 x2 6x1 x2 
 2 2 2 2
 (x1 x2 ) 2x1x2 6 x1x2 ( 2) 2.( m) 6.( m)
 2
 3m2 m 2 0 m 1(TM (*));m (TM (*))
 1 2 3
 2
Vậy m 1 hoặc m .
 3
Ví dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2017 -2018) 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y mx 5 .
a)Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0; 5) với mọi giá trị của m.
b)Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): y x2 tại hai 11/15
 x2 2x m 2 x2 2x m 2 0 (1)
 a 1 0;b 2;b' 1;c m 2 
+ Có ' b' 2 ac 1 2 1. m 2 m 1
+ Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2
 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2
 ' 0 m 1 0 m 1 (*)
 b 2
 x x 2
 1 2 a 1
+ Theo định lý Vi – et có: 
 c m 2
 x  x m 2
 1 2 a 1
 2 2 2
+ Theo đề bài có: x1 x2 2 x1 x2 4 x1 x2 2x1.x2 4
 2 2
 x1 x2 4x1.x2 4 2 4. m 2 4 m 2 (thỏa mãn Đk*)
Vậy m 2 .
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = x2 
và đường thẳng (d) có phương trình: y = 2mx – 2m + 3 (m là tham số). Tìm m 
để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tung độ y1, y2 thỏa mãn: y1 y2 9
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là:
 2 2 2 2
 x 2mx 2m 3 x 2mx 2m 3 0 (1). Ta có y1 y2 9 x1 x2 9
 d cắt P tại hai điểm phân biệt có tung độ y1, y2 thỏa mãn y1 y2 9 PT (1) 
 2 2
có hai nghiệm phân biệt x1;x2 thỏa mãn x1 x2 9
PT (*) có hai nghiệm phân biệt ' 0 m2 2m 3 0 (m 1)2 2 0 ( luôn 
 x1 x2 2m
đúng). Theo hệ thức Vi-ét: 
 x1.x2 2m 3
 2 2 2 2 2
Mà x1 x2 9 (x1 x2 ) 2x1 x2 9 (2m) 2.(2m 3) 9 4m 4m 3 0
 3 1 3 1
 m ;m . Vậy m hoặc m là các giá trị cần tìm.
 1 2 2 2 2 2
c. Bài tập tự luyện.
Bài 1: (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2016 -2017) 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y 3x m2 1 và parabol 
(P): y x2 
 a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
 b) Gọi x1 và x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để 
 x1 1 x2 1 1.

File đính kèm:

  • docsang_kien_kinh_nghiem_phuong_phap_giai_mot_so_dang_toan_ve_s.doc