Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán Lớp 11 THPT

 và áp dụng các tính chất. Cụ thể, năm học 2018-2019 khi chưa áp dụng sáng 
kiến vào giảng dạy. Tôi tổng hợp kết quả điểm phần giới hạn hàm số qua bài 
kiểm tra cuối học kỳ được kết quả như sau:
 Số Điểm tối đa Đạt 75% Đạt 50% Dưới 50%
 Lớp
 HS SL % SL % SL % SL %
 11a1 45 1 2.22 6 13.33 11 24.44 27 60.01
 Xuất phát từ thực tế đó, trong năm học 2020-2021 tôi đã tiến hành đổi 
mới cách dạy nội dung này tại lớp 11a6 (có chất lượng tương đương với lớp 
11a1 trong năm học trước), bằng cách vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này.
 Trước khi thực hiện giải pháp, các phương pháp chủ yếu áp dụng trong dạy 
học bài giới hạn hàm số là: dạy học giải quyết vấn đề, kết hợp phương pháp dạy 
học nhóm và các phương pháp truyền thống....bám sát theo nội dung, chương 
trình sách giáo khoa hiện hành, trang bị kiến thức cơ bản cho học sinh sau đó 
vận dụng vào giải các bài tập trong sách giáo khoa. Tuy nhiên, đáp ứng mục 
tiêu giáo dục với yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, các phương pháp trên 
còn một số hạn chế như: sự vận động của học sinh chưa toàn diện, sự trải 
nghiệm đồng thời về cùng một vấn đề nghiên cứu theo các kênh thông tin còn ít, 
sự phát triền đồng đều hài hòa phẩm chất và năng lực của học sinh đôi khi còn 
bị hạn chế. Đặc biệt đối với đối tượng học sinh trung bình và yếu thì khả năng tư 
duy phân tích, tổng hợp rất hạn chế, gần như giải bài nào biết bài đó. Việc tự 
hình thành phương pháp giải chung và phân loại bài toán là rất khó khăn. Hơn 
nữa, lượng thời gian dành cho tiết học trên lớp là không nhiều nên giáo viên 
giúp học sinh tổng hợp, phân dạng và đưa ra cách giải cụ thể là việc làm rất cần 
thiết.
5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến:
 Toán học là một môn học đòi hỏi tư duy và logic, phải biết vận dụng và 
kết hợp nhiều kiến thức lại với nhau. Do đó, việc phân dạng và hình thành ở phần này tương đối dễ với đối tượng học sinh khá, giỏi, nhưng đối với học 
sinh trung bình, yếu thì khá khó khăn trong việc phân loại các dạng toán và vận 
dụng phương pháp phù hợp.
 Do đó, tôi luôn chú trọng việc hệ thống, phân loại các dạng bài tập và 
phương pháp giải hoặc tìm ra một phương pháp mới, để giảng dạy cho học sinh, 
một phương pháp học đơn giản, một phương pháp mà học sinh cảm thấy hứng 
thú khi học.
6. Mục đích của giải pháp sáng kiến:
 Đề tài góp phần nghiên cứu một cách có hệ thống, làm rõ hơn việc phân 
loại và đưa ra phương pháp giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình 
Toán lớp 11 THPT.
 Giúp học sinh nhận dạng và tìm ra phương pháp giải tối ưu, nhanh nhất 
một số dạng bài tập tìm giới hạn hàm số thường gặp trong các đề kiểm tra giữa 
học kỳ, cuối học kỳ, đề thi THPT quốc gia và thi học sinh giỏi. Phát triển khả 
năng tổng hợp, khái quát hóa dạng toán và phương pháp giải chung.
 Rèn luyện kỹ năng giải nhanh và giải bài tập trắc nghiệm.
 Nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ phục vụ cho công tác giảng 
dạy, ôn tập giữa học kỳ, cuối học kỳ, ôn thi học sinh giỏi và thi THPT quốc gia. 
Đồng thời chia sẻ với đồng nghiệp những kinh nghiệm của bản thân.
7. Nội dung: 
7.1. Thuyết minh giải pháp mới hoặc cải tiến
7.1.1. Giải pháp 1: 
- Tên giải pháp: Nghiên cứu, tìm hiểu cơ sở lý thuyết để giải quyết bài toán tìm 
giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPT.
- Nội dung: Hệ thống lại kiến thức cơ bản; tổng hợp và phân loại các dạng toán; 
đưa ra phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán. Chỉ ra những điểm cần chú 
ý, những sai lầm thường gặp và hạn chế của phương pháp.
- Các bước tiến hành thực hiện giải pháp:
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách tham khảo 
và các đề thi, đề kiểm tra. * lim xk (với ); lim xk nếu k chẵn và nếu k lẻ.
 x x 
 1 1
* lim lim k ¥ * 
 x xk x xk
3) Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí: Nếu lim f x L, lim g x M , c là hằng số thì
 x x0 x x0
* lim f x g x L M
 x x0
* lim f x .g x L.M và lim c. f x c.L (c là hằng số)
 x x0 x x0
 f x L
* Nếu M 0 thì lim 
 x x0 g x M
* lim f x L
 x x0
* lim 3 f x 3 L
 x x0
* lim f x L với L 0
 x x0
II. PHÂN LOẠI DẠNG TOÁN 
1. Dạng 1: Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số và những quy tắc cơ bản
Phương pháp giải:
* Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số f x trên cơ sở giới hạn các dãy f xn .
Nếu có 2 dãy xn và xn cùng tiến đến x0 mà lim f xn lim f xn thì không tồn 
tại lim f x 
 x x0
*Với mọi số nguyên dương k, ta có: 
 1
 lim xk ; lim x2k , lim x2k 1 , lim 0
 x x x x xk
* Xác định dấu hoặc dựa trên dấu của tích số, thương số, 
 x x0 , x x0 , x 
Chú ý: Nếu hàm số f x là một đa thức, là một phân thức đại số hoặc một hàm 
số lượng giác có tập xác định là D thì với mỗi x0 D ta có lim f x f x0 
 x x0
2. Dạng 2: Dạng vô định 0
 0
 f x 
Xét bài toàn: Tính lim khi lim f x lim g x 0 , trong đó f x , g x là 
 x x0 g x x x0 x x0
các đa thức và căn thức.
Phương pháp giải:
Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước: 
 f x x x .A x A x 
 lim lim 0 lim
 x x x x x 
 0 g x 0 x x0 .B x B x f x a
- Nếu deg f x deg g x thì lim 
 x g x b
 f x 
- Nếu deg f x deg g x thì lim 0
 x g x 
4. Dạng 4: Dạng vô định 0.∞ 
Bài toán : Tính lim f x .g x khi lim f x 0 và lim g x 
 x x0 x x0 x x0
Phương pháp giải:
 f x 0
Ta biến đổi lim f x .g x lim để đưa về dạng 
 x x0 x x0 1 0
 g x 
 g x 
Hoặc biến đổi lim f x .g x lim để đưa về dạng .
 x x0 x x0 1 
 f x 
5. Dạng 5: Dạng vô định ∞ - ∞
Bài toán 3: Tính lim f x g x khi lim f x và lim g x 
 x x0 x x0 x x0
Phương pháp giải:
Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân 
thức.
6. Dạng 6: Giới hạn một bên
Phương pháp giải:
* Nếu lim f x lim f x thì không tồn tại lim f x
 x x0 x x0 x x0
* Nếu lim f x lim f x L thì lim f x L
 x x0 x x0 x x0
7.1.2. Giải pháp 2: 
- Tên giải pháp: Vận dụng, thực hành giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong 
chương trình Toán lớp 11 THPT.
- Nội dung: Lựa chọn bài tập có tính đại diện cao, phù hợp từng dạng đã phân 
loại làm ví dụ minh họa phương pháp; vận dụng phương pháp đã nêu, giải bài 
tập mẫu, kèm theo chú thích và những chú ý hay mắc sai lầm. Chỉ ra ưu điểm, 
hạn chế của phương pháp giải. Lựa chọn bài tập trắc nghiệm cho học sinh tự rèn 
luyện kỹ năng giải nhanh, đáp ứng các đề thi, kiểm tra.
- Các bước tiến hành thực hiện giải pháp:
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách tham khảo 
và các đề thi. Chú ý: Nếu hàm số f x là một đa thức, là một phân thức đại số hoặc một hàm 
số lượng giác có tập xác định là D thì với mỗi x0 D ta có lim f x f x0 
 x x0
Ví dụ 2. Tính giới hạn của các hàm số
 x2 1 x2 3x 10
a) f x khi x 3 b) f x khi x 2
 2 x 2x2 x 6
 Lời giải:
 2
 x2 1 lim x 1 
a) Theo định lí 1, ta có lim f x lim x 3
 x 3 x 3 2 x lim 2 x
 x 3
 2
 lim x lim1 limx.limx lim1 3.3 1 5 x2 1 5
 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 . Vậy lim 
 lim 2.lim x lim 2. limx 2 3 3 x 3 2 x 3
 x 3 x 3 x 3 x 3
b) Vì 2x2 x 6 0 khi x 2 nên chưa thể áp dụng ngay Định lí 1.
 2
 x 3x 10 x 2 x 5 x 5
Nhưng với x 2 , ta có suy ra f x .
 2 
 2x x 6 x 2 2x 3 2x 3
 x 5 lim x 5 lim x lim5 2 5
Vậy lim f (x) lim x 2 x 2 x 2 1
 x 2 x 2 2x 3 lim 2x 3 2.lim x lim3 2.2 3
 x 2 x 2 x 2
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau:
 x2 1 4 x2 x 3 3 
a) lim b) lim c) lim 
 x 3 x 2 x 6 
 x 1 x 2 x 6 
 Lời giải:
 2
 x2 1 3 1 8
a) lim lim 4
 x 3 x 1 x 3 3 1 2
 4 x2 2 x 2 x 
b) lim lim lim 2 x 4
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
 x 3 3 x 3 3 x 3 3 x 6
c) lim lim lim 
 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 3 3 
 1 1
 lim 
 x 6 x 3 3 6
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau
 2x 6 17 2x2 x 1 
a) lim b) lim 2 c) lim 
 x 4 x x x 1 x 3 x Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
 x2 3x 2 x2 2x x3 3x 2 x3 x2 x 1
a) lim b) lim c) lim d) lim
 x 2 x 2 x 2 2x2 6x 4 x 1 x4 4x 3 x 1 x2 3x 2
 Lời giải:
 x2 3x 2 x 1 x 2 
a) lim lim lim x 1 1
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
 x2 2x x x 2 x x 2 x
b) lim lim lim lim 1
 x 2 2x2 6x 4 x 2 2 x2 3x 2 x 2 2 x 1 x 2 x 2 2 x 1 
 2
 x3 3x 2 x 1 x 2 x 2 3 1
c) lim 4 lim 2 lim 2 
 x 1 x 4x 3 x 1 x 1 x2 2x 3 x 1 x 2x 3 6 2
 2
 x3 x2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 
d) lim lim lim 0
 x 1 x2 3x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau
 x2 16 4 x2 x2 3x 2
a) lim b) lim c) lim
 x 4 x2 x 20 x 2 x3 8 x 2 2x2 x 6
 Lời giải:
 x2 16 x 4 x 4 x 4 8
a) lim lim lim 
 x 4 x2 x 20 x 4 x 4 x 5 x 4 x 5 9
 4 x2 2 x 2 x 2 x 1
b) lim lim lim 
 x 2 x3 8 x 2 x 2 x2 2x 4 x 2 x2 2x 4 3
 x2 3x 2 x 1 x 2 x 1 1
c) lim lim lim 
 x 2 2x2 x 6 x 2 x 2 2x 3 x 2 2x 3 9
Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau
 x3 3x 2 4x2 x 18 x4 x2 72 x5 1
a) lim b) lim c) lim d) lim
 x 1 x4 4x 3 x 2 x3 8 x 3 x2 2x 3 x 1 x3 1
 Lời giải:
 2
 x3 3x 2 x 1 x 2 x 2 3 1
a) lim lim lim 
 x 1 x4 4x 3 x 1 x 1 2 x2 2x 3 x 1 x2 2x 3 6 2
 4x2 x 18 x 2 4x 9 4x 9 17
b) lim lim lim 
 x 2 x3 8 x 2 x 2 x2 2x 4 x 2 x2 2x 4 12
 2 2
 x4 x2 72 x 8 x 3 x 3 x 8 x 3 51
c) lim lim lim 
 x 3 x2 2x 3 x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 2