Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải toán tỉ lệ thức Lớp 7

 PHẦN I. PHẦN MỞ ĐẦU
 I. Bối cảnh của đề tài
 Sau khi học xong các bài: (Bài 7. Tỉ lệ thức; Bài 8: Tính chất của dãy tỉ số 
bằng nhau – SGK toán 7 – tập 1). Tôi tiến hành khảo sát thực trạng lớp 7A, 7B và 
7D, trường THCS Đại Nài. Trong đó một số học sinh lớp 7A, 7B có hoàn cảnh khó 
khăn, do đó việc đầu tư về thời gian, sách vở bị hạn chế ảnh hưởng không nhỏ đến 
nhận thức và sự phát triển tư duy của các em. Đa số các em hay thoả mãn trong học 
tập, các em cho rằng chỉ cần học thuộc lòng các kiến thức trong SGK là đủ. 
 Chính vì vậy mà các em tiếp thu kiến thức một cách thụ động, không tự học, 
khám phá kiến thức mới. Trong khi toán tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng 
nhau đóng vai trò rất quan trọng trong việc giải toán, nhưng sự vận dụng của các 
em phần lớn là chưa tốt, còn nhiều em chưa biết vận dụng kiến thức vào giải toán. 
Hơn nữa một số kỹ năng phục vụ cho giải toán tỉ lệ thức, quy tắc dấu ngoặc, quy 
tắc chuyển vế, một số công thức vế lũy thừa, phối hợp các phép toán về cộng trừ 
nhân chia phân số chưa thành thạo dẫn đến các em hấp tấp khi giải các bài tập dạng 
này.
 II. Lý do chọn đề tài
 Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành 
khoa học. Ngay từ thế kỉ XIII, nhà tư tưởng Anh R.Bêcơn đã nói rằng: “Ai không 
hiểu biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng 
không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình”. Đến giữa thế kỉ XX nhà vật lí 
học nổi tiếng (P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí “không được 
tin vào mọi quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ đồ 
này thoạt đầu có thể không liên hệ gì với vật lí cả”. Sự phát triển của các nhà khoa 
học đã chứng minh lời tiên đoán của Các Mác: “Một khoa học chỉ thực sự phát 
triển nếu có thể sử dụng được phương pháp toán học”.
 2 III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
 1. Phạm vi nghiên cứu
 - Nghiên cứu về một số cách giải các bài toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng 
nhau trong chương trình Toán 7.
 - Nghiên cứu một số dạng toán về tỉ lệ thức trong sách “Nâng cao và phát 
triển Toán 7”
 2. Đối tượng nghiên cứu
 - Kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình 
Toán 7 và một số tài liệu liên quan.
 - Đề tài này sẽ nghiên cứu học sinh lớp 7A, 7B, 7D trường THCS Đại Nài – 
TP Hà Tĩnh – Tỉnh Hà Tĩnh trong việc áp dụng: “Một số phương pháp giải toán tỉ 
lệ thức lớp 7”. 
 IV. Mục đích nghiên cứu
 Qua những năm trực tiếp giảng dạy, bản thân cũng nắm bắt và thấu hiểu 
được những khó khăn của học sinh trong việc tìm phương pháp giải và phân dạng 
bài tập toán nói chung và toán tỉ lệ thức lớp 7 nói riêng. Nếu các em được sống 
trong sự yêu thương của gia đình, thầy cô và có môi trường học tập tốt thì các em 
sẽ ham thích và nỗ lực trong học tập. Điều này có tác động rất lớn đến các em ở lớp 
7A, 7B do đa số gia đình các em còn nhiều khó khăn, nhà ở xa trường.
 Vì vậy, đây là động lực để bản thân tôi đang làm công việc “Trồng người” luôn 
cố gằng tìm ra phương pháp và phân dạng bài tập phù hợp với từng đối tượng học 
sinh. Giúp các em ham học hơn từ đó nâng cao chất lượng giáo dục của bản thân 
mỗi học sinh. 
 Đây cũng chính là mục đích của đề tài này.
 VI. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu
 4 một. Có những bài học sinh trình bày rất tốt, sáng tạo, tuy nhiên có nhiều bài làm 
trình bày sơ sài, dư thừa hoặc thiếu sót nhiều, thậm chí nhiều bài không định hình 
được cách trình bàyVà sau khi hướng dẫn, tìm cho các em những mẹo nhớ, 
những cách trình bày ngắn gọn thì các em phần nào đã cải thiện được chất lượng 
bài làm, nhiều em học sinh khá giỏi rất hứng thú với mảng kiến thức này.
 II. Thực trạng của vấn đề
 Sau thời gian được phân công giảng dạy các lớp 7 trong những năm học vừa 
qua tại trường THCS Đại Nài, bản thân tôi đã tích lũy được những kiến thức và 
học hỏi từ đồng nghiệp rất nhiều kinh nghiệm quý báu, điều đó đã giúp tôi có 
nhiều thuận lợi hơn trong quá trình thực hiện nhiệm vụ giảng dạy được phân 
công. Trong những năm tôi mới ra trường, tôi đã được phân công dạy lớp 7. Từ 
năm , tôi đã tích lũy một số kiến thức và các dạng bài tập cơ bản về tỉ lệ thức và 
dãy tỉ số bằng nhau. Tôi đã dần sưu tầm, tìm hiểu các bài toán về vấn đề này và 
áp dụng vào dạy các năm học 2017 – 2018; 2020 – 20121. Qua thời gian nghiên 
cứu, thực hiện viết và áp dụng SKKN “Một số phương pháp giải toán tỉ lệ thức 
lớp 7” ở trường THCS Đại Nài – Thành phố Hà Tĩnh – Tỉnh Hà Tĩnh, bản thân 
tôi tiếp tục trao đổi với những giáo viên đã và đang giảng dạy khối 7 để tích lũy 
thêm kiến thức cho SKKN này
 Trước khi thực hiện đề tài, có những thuận lợi và khó khăn sau:
1. Thuận lợi:
 - Hầu hết các giáo viên đều có trình độ đạt chuẩn và trên chuẩn, có kiến thức 
vững vàng, luôn trau dồi kiến thức chuyên môn, nghiệp vụ sư pham và luôn có ý 
chí vươn lên.
 - Nhà trường có cơ sở vật chất tốt khang trang, có phòng học dành cho bộ 
môn tốt thuận lợi cho việc triển khai giảng dạy môn học theo đúng yêu cầu và đặc 
thù của bộ môn
2. Khó khăn:
 6 1. Biện pháp 1: Củng cố và hệ thống lý thuyết về tỉ lệ thức, tính chất cơ bản 
của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, các bài toán về tỉ lệ thuận, tỉ lệ 
nghịch có liên quan về tỉ lệ thức, ôn luyện lại một số kỹ năng biến đổi.
 a c
1.1. Định nghĩa tỉ lệ thức: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số .
 b d
1.2. Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: Với a, b, c, d 0 thì:
 a.d b.c
 a c a b d c d b
 b d c d b a c a
1.3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
 a1 a2 an
 Từ dãy tỉ số bằng nhau: ... 
 b1 b2 bn
 a a a a a ... a
 Ta suy ra: 1 2 ... n 1 2 n (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
 b1 b2 bn b1 b2 ... bn
1.4. Một số kiến thức cần vận dụng trong quá trình giải toán tỉ lệ thức:
- Hai tính chất cơ bản của phân số.
- Định lý tổng 3 góc trong một tam giác bằng 1800.
- Quãng đường đi được của chuyển động bằng tích của vận tốc với thời gian đi hết 
quãng đường đó.
.
1.5. Ôn luyện lại một số kỹ năng biến đổi:
 Kỹ năng thực hiện phép tính, kỹ năng xử lý về dấu, kỹ năng bỏ ngoặc, kỹ năng 
chuyển vế, ...
 Sau khi học sinh nắm vững được lý thuyết thì việc vận dụng lý thuyết vào giải 
bài tập là cực kỳ quan trọng, do vậy người giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp 
lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ, biết vận dụng linh hoạt 
kiến thức cơ bản để tìm ra con đường hợp lý, cách giải hay, gây hứng thú học tập 
 8 3 27 3 9 9 81 27 81
 ; ; ; 
 9 81 27 81 3 27 3 9
2. Bài tập vận dụng tại lớp:
 Tìm x biết:
 x 60 2 x
a) b) 
 15 x x 8
Với bài tập này học sinh muốn tìm giá trị của x phải sử dụng tính chất 1 của tỉ lệ 
thức.
 x 60
 x.x = (-15).(-60) x2 = 900 x= 30 .
 15 x
 16 4
Tương tự b, Học sinh tìm được : x2 = x = .
 25 5
3. Hệ thống bài tập tự ôn tập tại nhà:
 Từ các tỉ số sau đây có lập được tỉ lệ thức không?
 2 4 1 2 1
a) : 4 và : 8 b) 3 : 7 và 2 : 7
 5 5 2 5 5
 Dạng 2: Cho tỉ lệ thức, hãy suy ra tỉ lệ thức khác:
 a c
1. Ví dụ: Cho tỉ lệ thức: ; hãy chứng minh ta có tỉ lệ thức sau:
 b d
 a c
 ( giả sử a ≠ b; c ≠ d; a,b,c,d ≠ 0 ).
 a b c d
2. Các cách giải:
 a c
Cách 1: Để chứng minh: ta xét từng tích a.(c – d) và c.(a – b).
 a b c d
 Ta có: a.(c – d) = ac – ad (1)
 c.(a – b ) = ac – cb (2)
 a c
 Ta lại có: a.d = b.c (3)
 b d
 Từ (1), (2), (3) a(c – d) = c(a – b)
 a c
 Do đó: 
 a b c d
 10 vị các số hạng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Tính chất của đẳng thức để biến đổi tỉ 
lệ thức đã cho đến tỉ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4).
3. Bài tập vận dụng tại lớp:
 a c
 Cho tỉ lệ thức sau . Chứng minh rằng các tỉ lệ thức sau đây: 
 b d
 2a 3b 2c 3d ad a2 b2
 a) b) 
 2a 3b 2c 3d cd c2 d 2
 (giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa).
 Giải:
 a c
a) Đặt: = k thì a = bk và c = dk
 b d
 2a 3b 2bk 3b b(2k 3) 2k 3
 (1)
 2a 3b 2bk 3b b(2k 3) 2k 3
 2c 3d 2dk 3d d(2k 3) 2k 3
 )(2)
 2c 3d 2dk 3d d(2k 3) 2k 3
 2a 3b 2c 3d
Từ (1) và (2) 
 2a 3b 2c 3d
Câu: (b, c) học sinh tự giải.
 Dạng 3: Tìm các số chưa biết khi biết các tỉ lệ thức:
1. Cách giải:
- Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
- Vận dụng tính chất cơ bản của phân số.
- Đặt tỉ lệ thức đã cho bằng k. tìm mối quan hệ của ẩn số qua k.
2. Ví dụ:
Bài 1. Tìm 2 số x, y biết: 
 x y
 a) và x + y = 21 
 5 2
 b) 7x = 3y và x – y = 16.
 Giải:
 x y
Từ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 5 2
 12 Tương tự tìm x + z và y + z; thay kết quả này vào đề bài ta được:
 0,5 x 1 0,5 y 2 0,5 z 3
 2 .
 x y z
 1,5 x 1,5 y 2,5 z
Hay: 2
 x y z
 1 5 5
Vậy: x ; y ; z .
 2 6 6
 Dạng 4: Ứng dụng tính chất của tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau vào giải bài 
toán chia tỉ lệ.
1. Hệ thống ví dụ: 
Bài 1. Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết rằng số đo các góc này tỉ lệ với 2, 
3, 4.
 Giải:
Số đo các góc của ABC là Aˆ ;Bˆ ;Cˆ . Giả sử theo thứ tự này, các góc đó tỉ lệ với 2, 
 ˆ ˆ ˆ
3 và 4 nghĩa là A : B : C = 2 : 3 : 4 
 Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ 1800
Hay: 200
 2 3 4 2 3 4 9
Do đó: Aˆ 400 ; Bˆ 600 ; Cˆ = 800. 
 Bài 2. Diện tích rừng tự nhiên ở nước ta trong năm 1945; 1990 và 2002 lần 
lượt tỉ lệ với 40; 26; 34. Tính diện tích rừng của nước ta vào các năm đó, biết rằng 
tổng diện tích rừng trong ba năm 1945; 1990; 2002 là 35 triệu ha. (số liệu đã làm 
tròn đến hàng trăm nghìn).
 Giải
Gọi diện tích rừng ở nước ta vào các năm 1945, 1990 và 2002 lần lượt là a, b, c 
 a b c
(triệu ha). Theo đề bài ta có: và a b c 35000000 
 40 26 34
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 14 Giải:
 x y x y
Cách 1: Từ giả thiết: (1) 
 3 4 9 12
 y z y z
 (2)
 3 5 12 20
 x y z
Từ (1) và (2) suy ra: (*)
 9 12 20
 x y z 2x 3y z 2x 3y z 6
Ta có: 3
 9 12 20 18 36 20 18 36 20 2
(áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
 x y z
Do đó: 3 x 27 ; 3 y 36 ; 3 z 60
 9 12 20
 Vậy: x = 27 ; y =36 ; z = 60. 
 x y z
Cách 2: Sau khi tìm được (*) ta đặt k (Cách giả như Bài 1).
 9 12 20
 x y
Bài 3: Tìm x, y biết : và xy = 40.
 2 5
 Giải:
 x y
Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt: k 0 . Suy ra: x =2k ; y = 5k 
 2 5
Theo giả thiết: x.y 40 2k.5k 40 10 k 2 40 k 2 4 k 2
 + Với k 2 ta có: x = 2.2 = 4; y 5.2 10
 + Với k 2 ta có: ;x 2.( 2) 4 y 5.( 2) 10
Vậy: x = 4 ; y = 10 hoặc x = - 4 ; y = -10.
Cách 2: (Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
 x y x2 xy 40
Hiển nhiên x 0 . Nhân cả hai vế của với x ta được: 8
 2 5 2 5 5
 x 2 16
 x 4
 16