Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ ở trường THCS

 PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ
 I. Lý do chọn đề tài
 Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học 
nói riêng, con người cần phải có một tri thức, một tư duy nhạy bén để nắm bắt 
và sử dụng những tri thức đó trong cuộc sống hàng ngày. Muốn có những tri 
thức đó con người cần phải học, nhà trường là một trong những nơi cung cấp 
những hành trang đó. Bộ môn toán trong trường trung học cơ sở, nhất là bộ môn 
đại số là một bộ môn rèn luyện tính tư duy nhạy bén của học sinh, nó đòi hỏi 
người học phải nhìn nhận vấn đề dưới mọi góc độ phải liên hệ giữa bài toán đã 
giải, những kiến thức đã biết để giải quyết. Vì vậy người thầy phải cho học sinh 
nắm được các dạng toán cơ bản và các hướng mở rộng của bài toán đó. Từ đó để 
học sinh phát triển tư duy và hình thành kĩ năng giải toán. Muốn đạt được điều 
đó phải đòi hỏi tính tích cực, tính tư duy của người học nhưng phương pháp của 
người thầy cũng rất quan trọng, làm cho học sinh học một nhưng có thể làm 
được hai ba. Từ bài toán đơn giản mở rộng lên bài khó.
 Trong chương trình Toán THCS nói chung và trong các kỳ thi học sinh 
giỏi lớp 9 và các kỳ thi tuyển vào lớp 10 nói riêng thường có những bài tập giải 
phương trình vô tỉ. Đây là dạng toán tương đối khó đối với học sinh, khi gặp các 
phương trình có chứa dấu căn phức tạp, học sinh thường lúng túng, không tìm ra 
cách giải và hay mắc sai lầm khi giải. Vì vậy các em thường e ngại khi tiếp xúc 
với dạng toán này, thậm chí kể cả giáo viên nhiều khi cũng dè dặt không muốn 
đi sâu thêm khi gặp dạng toán giải phương trình vô tỉ. Trong quá trình giảng dạy 
và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy rằng nếu chúng ta biết phân loại từng 
dạng bài tập và định hướng cho các em cách giải thì các em sẽ chủ động hơn 
trong việc giải dạng toán này qua đó giúp học sinh rèn luyện kỹ thuật giải bài 
toán giải phương trình vô tỉ và những ứng dụng của nó trong một vài trường 
hợp. Bởi vậy, người thầy giáo cần phân loại và trang bị cho học sinh phương 
pháp giải dạng toán này. Trong những năm thực tế giảng dạy HS tôi nhận thấy 
rằng cần thiết phải hình thành một cách có hệ thống các dạng toán phương trình 
vô tỉ và phương pháp giải để truyền thụ kiến thức cho HS. Tôi đã dành nhiều 
thời gian nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp, tìm tòi thử nghiệm với học 
sinh đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Vì vậy tôi đã mạnh dạn nghiên cứu 
nêu lên “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ ở trường THCS”. 
 II. Mục đích nghiên cứu 
 Nghiên cứu về “phương pháp giải phương trình vô tỉ ở trường THCS”. 
Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp 
các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương 
pháp giảng dạy phần này có hiệu quả. 
 Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy 
học phần phương trình vô tỉ trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng 
nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán.
 2 Trong chương trình môn Toán ở các lớp THCS đặc biệt đối với lớp 9 kiến 
thức về phương trình vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng. Đó là những tiền 
đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT. 
 Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến 
thức cơ bản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại 
số. . . . Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn 
giản đến phức tập. “ Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ ở trường 
THCS”giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo 
trong giải toán. Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học 
toán cho học sinh. 
 II. Cơ sở thực tiễn
 Phương trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, 
nhiều học sinh không biết giải phương trình vô tỉ như thế nào? có những phương 
pháp giải nào? 
 Các bài toán về phương trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều 
trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài 
liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp 
nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong 
công tác tự bồi dưỡng của giáo viên. 
 Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô tỉ hiện nay 
còn ít giáo viên nghiên cứu. 
 Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ là rất 
thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp 
giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc 
biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS. 
 III. Nội dung nghiên cứu 
 1. Định nghĩa:
 Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong căn thức.
 2. Các bước giải phương trình vô tỉ (Dạng thông thường):
 - Tìm điều kiện xác đinh của phương trình.
 - Dùng các phép biến đổi tương đương đưa về dạng phương trình đã học.
 - Giải phương trình vừa tìm được.
 - Đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện xác định và kết luận nghiệm.
 *Chú ý: Với những phương trình có tập xác định là R và trong quá trình 
biến đổi phương trình không cần thêm điều kiện thì phải thử lại với nghiệm tìm 
được.
 3. Các kiến thức cơ bản về căn thức:
 1. Một số âm không có căn bậc chẵn.
 4 2x 1 x 2 4x 4
 x 2 6x 5 0
 Giải ra ta được x1=1 không thoả mãn (4)
 x2 = 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phương trình: x = 5 
Ví dụ 2: Giải phương trình: x 1 5x 1 3x 2 (1)
 x 1 0
Phương trình (1) có nghĩa: 5x 1 0 x 0 (2)
 3x 2 0
(1) x 1 3x 2 5x 1
Hai vế đều dương, bình phương hai vế ta được
 x 1 3x 2 5x 1 2 (3x 2)(5x 1)
 2 7x 2 15x 2 13x 2
 2 7x 0
 2 2
 4(15x 13x 2) (2 7x) (3)
 2
Giải (3) ta được: x không thoả mãn (1). 
 7
Vậy phương trình vô nghiệm. 
Ví dụ 3: Giải phương trình x 1 x 2 1 (1)
 Giải
Điều kiện: x 2 (2)
Viết phương trình (1) dưới dạng
 x 1 x 2 1 (3)
 Hai vế của (3) không âm, bình phương hai vế ta được
 x 1 x 2 1 2 x 2
 2 2 x 2 x 2 1 x 2 1 x 3 thoả mãn điều kiện (2)
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3
Lưu ý: 
 - Nếu để (1) bình phương ta phải đặt ĐK x+1 x 2 (ĐK này luôn đúng)
 - Nếu biến đổi (1) thành x 2 x 1 1 rồi bình phương hai vế ta phải 
 đặt ĐK x 1 1 x 0
Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 x 1 2 3 7 x (1)
 Giải:
 (1) 3 x 1 3 7 2x 2
 (3 x 1 3 7 x)3 23
 3 (x 1)(7 x) 0
 (x 1)(7 x) 0
 x1 1; x2 7
 6 ( x 2 2) 2 ( x 2 3) 2 1
 x 2 2 x 2 3 1
 Cách 1: Chia các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 
 Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức a b a b , dấu “=” xảy ra khi a, b > 0. 
 Khi đó x 2 2 3 x 2 x 2 2 3 x 2 1 (3)
 Dấu “=”xảy ra khi: x 2 2 3 x 2 0 (4)
 Giải (4) ta được: 6 x 11Thoả mãn (2)
 Vậy nghiệm của phương trình (1)là: 6 x 11
 c) Chú ý: 
 - Phương pháp này thường được áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn 
 bậc hai viết được thành bình phương của một biểu thức. 
 - Có những phương trình cần phải biến đổi mới có dạng trên. 
 d) Bài tập áp dụng: 
 Giải các phương trình sau:
 1) x 2 2x 1 x 2 2x 1 2 x 1 
 2) x x 2 1 x x 2 1 2 x 2 
 5 
 3) x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2 x 3 
 2 
 4.3. Phương pháp đặt ẩn phụ:
 a) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình ẩn mới:
 Ví dụ 7: Giải phương trình x 2 5x 13 4 x 2 5x 9 (1)
 Giải:
 5 11
 Ta có: x 2 5x 9 x > 0
 2 4
 Đặt: x 2 5x 9 y 0 x 2 5x 9 y 2 
 Khi đó (1) y2 + 4 = 4y
 y 2
 x 2 5x 5 4
 x 2 5x 5 0
 5 5
 x 
 2
 5 5
 x 
 2
 1 1
Ví dụ 8: Giải phương trình: x x x 2 (1)
 2 4
 8 Khi đó: (1) 2x 15 2(4x 2) 2 28 (2)
Đặt: 4y 2 2x 15 (3)
 1
Điều kiện: 4y 2 0 y 
 2
Khi đó (2) trở thành (4x + 2)2 = 2y + 15 (4)
Từ (3) ta có: (4y + 2)2 = 2x + 15 (5)
 (4x 2) 2 2y 15(4)
Từ (4) và (5) có hệ: 
 2
 (4y 2) 2x 15(5)
Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta được (x- y)(8x + 8y + 9) = 0
+) Nếu: x y 0 x y thay vào (5) ta được: 16x2 14x 11 0
 1
 x 
 2
 11
 x 
 8
 11
với x , loại
 8
+) Nếu 8x + 8y + 9 = 0 8y 8x 9 , thay vào 9 (4) ta được: 64x2 + 72x - 35 =0
 9 221
 x 
 16 (loại)
 9 221
 x 
 16
 1
Vậy nghiệm của phương trình là: x ;
 1 2
 9 221
 x 
 2 16
 - Dạng: 3 ax b r(ux v)3 dx e (1)
 - Phương pháp giải: 
 Đặt uy v 3 ax b
 (1) đưa được về dạng: u(y v)(rP 2 rPQ rQ 2 1) 0
 Trong đó : P uy v , Q ux v
Ví dụ 11: Giải phương trình: 3 3x 5 8x 3 36x 2 53x 25 (1)
 Giải
(1) 3 3x 5 =(2x-3)3-x+2 (2)
Đặt : 2y-3= 3 3x 5
 3x 5 (2y 3)3 (3)
khi đó (2) 2y x 5 (2x 3)3 (4)
 3x 5 (2y 3)3
Từ (3), (4) có hệ : 
 3
 2y x 5 (2x 3)
 10 1 3
 x 
 2
+Trường hợp 1: Ta được x = y = 1; Trường hợp 2: hoặc 
 1 3
 y 
 2
 1 3
 x 
 2
 1 3
 y 
 2
Từ đó ta được x = 1; x = 1 3 là nghiệm
 2
c) Chú ý:
* Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải được nhiều 
bài toán khó, tuy nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết 
nhận xét và tìm mối liên quan giữa các biểu thức trong phương trình, liên quan 
giữa các ẩn
* Cần phải có kỹ năng giải phương trình và hệ phương trình. 
d) Bài tập áp dụng:
 1) x 2 2x 9 6 4x 2x 2
 2) x 2 x 1 x 2 x 1 4
 (đặt x 1 y 0; x 5 )
 3) x 1 2 x x 4 4 x 1
 (đặt x y;1 x 4 )
Đặt hệ phương trình:
 1) 3 x 3 8 2x 2 6x 4
 Đặt: x 2 a, x 2 2x 4 b
 2) 5 x 3 1 2(x 2 2)
 5 37
 Đặt: x 1 a; x 2 x 1 b(x )
 2
 x 3 13; x 3 13
 1 1
 3) x 1 x
 x x
 1 1 1 5
 Đặt: x a; 1 b; x 
 x x 2
 4) 3 2 x x 1 1
 Đặt 3 2 x a; x 1;2;10
 5) 3x 1 4x 2 13x 5
 12 a1 a2
 (Với dấu “=” xảy ra khi )
 b1 b2
Vế trái: 6 x x 2 12 12 . 6 x x 2 4
Dấu “=” xảy ra khi x=3
 Vậy phương trình vô nghiệm. 
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
 - Ta chỉ ra nghiệm cụ thể và chứng minh được các trường hợp khác của ẩn 
 không là nghiệm của phương trình. 
 - Ví dụ 17: Giải phương trình:3 x 2 x 1 3 (1)
 Giải
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phương trình. 
+ Với x > 3 thì 3 x 2 1, x 1 2 vế trái của (1) lớn hơn 3
+ Với -1 x 3 thì 3 x 2 1, x 1 2 vế trái của (1) nhỏ hơn 3 
 Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình. 
d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt. 
 x 4x 1
 Ví dụ 18: Giải phương trình: 2 (1)
 4x 1 x
 Giải
Điều kiện: x >1 (2)
 4
 a b
Sử dụng bất đẳng thức: 2
 b a
Với a, b > 0 thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
 x 4x 1
Do đó: 2
 4x 1 x
Dấu “=” xảy ra x 4x 1
 x 2 4x 1 0
 x 2 3
 Thoả mãn (2)
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2 3
e) Bài tập áp dụng:
 1) x 4 6 x x 2 10x 27 (x = 5)
 2) 3x 2 12x 6 y 2 4y 13 5 (x = y = 2)
 3) x 2 6 x 2 x 2 1 (Vô nghiệm)
 4) x 1 x 3 2. (x 1)(x 2 3x 5) 4 2x
 14