Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức nâng cao trong giải toán cấp THCS

 1 
 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 
 Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng 
đổi mới. Các nhà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng giáo dục 
toàn diện, phát triển phẩm chất năng lực cho học sinh bên cạnh sự đầu tư thích 
đáng cho giáo dục mũi nhọn. Với vai trò là môn học công cụ, môn toán đã góp 
phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác. Dạy 
như thế nào để các bạn học sinh chưa học tốt môn Toán sẽ được trang bị những 
kiến thức từng bước tiến bộ hơn. Còn các bạn ham tìm tòi cũng sẽ có những gợi 
ý để tự mình đào sâu suy nghĩ nắm chắc kiến thức và phát huy hết khả năng tư 
duy toán học, là một câu hỏi mà mỗi thầy cô luôn đặt ra cho mình, đòi hỏi thầy 
cô phải biết chắt lọc kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và 
phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tốt tư duy toán học. 
 Bản thân tôi, trong quá trình học toán và dạy toán, tôi nhận thấy“Bất đẳng 
thức" là đề tài lí thú và nội dung thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi toán ở 
lớp 8, 9, thi tuyển sinh vào 10 ở các trường THPT và chuyên. 
 Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán phổ 
thông. Nhưng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu 
kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện luận phương trình, bất phương trình. Trong 
quá trình giải bài tập, năng lực suy nghĩ và sáng tạo của học sinh được phát triển 
đa dạng và phong phú vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo 
quy tắc và khuôn mẫu nào cả. 
 Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu, không theo một 
phương pháp nhất định nên học sinh rất lúng túng khi chứng minh và vận dụng 
các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan, không biết bắt đầu từ đâu và 
đi theo hướng nào. Vì vậy thầy cô phải cung cấp cho học sinh kiến thức cơ bản 
và phương pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức. Tôi không tham vọng lớn 
bàn về việc dạy " Bất đẳng thức " trong chương trình toán học phổ thông, chỉ 
xin đưa ra một số kinh nghiệm về phương pháp giải, các dạng toán thường gặp 
về bất đẳng thức và ứng dụng. Hi vọng sẽ giúp các em học sinh lớp 8, 9 học giỏi 
toán đại số hơn đồng thời cung cấp thêm tư liệu tham khảo cho đồng nghiệp. 
 Với những lí do trên mà tôi chọn nội dung nghiên cứu: “ Một số kinh 
nghiệm hướng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức nâng cao trong giải 
toán cấp THCS ” 
II- THỜI GIAN, ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 
 Thời gian thực hiện đề tài SKKN từ tháng 15/9/2022 đến tháng 1/4/ 2023 tại 
lớp 8A,9A trường THCS Vật Lại - Ba Vì - Hà Nội. 
 3 
 Qua kết quả khảo sát lượng của học sinh, tôi đã phải băn khoăn, trăn trở làm 
thế nào các em nắm được các phương pháp giải các dạng toán về bất đẳng thức. 
3. Nội dung chủ yếu của đề tài 
 Để giải được bài toán về Bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm 
và tính chất cơ bản của bất đẳng thức còn phải nắm được phương pháp chứng 
minh bất đẳng thức. Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, ta phải 
dựa vào đặc thù riêng của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho thích hợp. 
Mỗi bài toán có thể áp dụng nhiều phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải 
kết hợp nhiều phương pháp một cách hợp lý . 
 Sau đây là một số phương pháp thường sử dụng : 
3.1.ĐỊNH NGHĨA 
 Cho 2 số a và b, nếu a - b là một số dương thì a lớn hơn b, kí hiệu a > b. 
Trái lại , nếu a - b là một số âm thì a nhỏ hơn b, kí hiệu a < b 
(Kí hiệu: a ≥ b nghĩa là a > b hoặc a = b ; kí hiệu a ≤ b nghĩa là a < b hoặc 
a = b ) 
3.2.TÍNH CHẤT 
- Tính chất 1: a > b và b > c a > c 
- Tính chất 2: a > b a + c > b + c 
Hệ quả: a > b + c a - c > b 
- Tính chất 3: a > b và c > d a + c > b + d 
 ac bc( c 0)
- Tính chất 4: ab 
 ac bc( c 0)
- Tính chất 5: a > b > 0 và c > d > 0 ac > bd 
- Tính chất 6: a > b > 0 và n nguyên dương abnn 
- Tính chất 7: a > b > 0 và n nguyên dương n ab n 
Hệ quả: ab;0 
 a22 b a b ab 
 11
- Tính chất 8: a b,0 ab 
 ab
- Tính chất 9: 
 a > 1 , m và n nguyên dương, m> n aamn 
 0 n aamn 
 - Phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm b2 - 4ac ≥ 0 
 | x | ≤ | a | - | a | ≤ x ≤ | a | 
3.3. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ÁP DỤNG 
+ a2k 0 với mọi a ( k nguyên dương). Dấu “ =” xảy ra khi a = 0. 
+ aa 0, . Dấu “ =” xảy ra khi a = 0. 
+ a a a 0 
+ a+ b a + b . Dấu “ =” xảy ra khi ab 0. 5 
 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca 
- Phân tích ,tìm lời giải: 
Dựa vào đặc điểm của từng hạng tử ở 2 vế, ta xét hiệu hai vế và phân tích tổng 
đó thành tổng các bình phương để tiện xét dấu. 
- Giải : 
 Xét hiệu: a2 + b2 + c2 - ( ab + bc + ca ) 
 1
 =(2a2 + 2 b 2 + 2 c 2 − 2 ab − 2 bc − 2 ca) 
 2
 1
 = (a2 −2 ab + b 2) +( b 2 − 2 bc + c 2) +( c 2 − 2 ac + a 2 )
 2 
 1 2 2 2
 = (a − b) +( b − c) +( c − a) 0
 2 
Vậy a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 
- Khai thác bài toán: Đề xuất những bài toán mới từ bài toán đã giải bằng cách. 
 + Xét trường hợp đặc biệt: với c = 1 ta có : 
 a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b 
 + Kết hợp với hằng đẳng thức: 
 (abc+ +)2 = a2 + b 2 + c 2 +2 ab + 2 bc + 2 ca 
 2
 a+ b + c a2 + b 2 + c 2
Suy ra : 
 33
*Bài toán 3: (Minh chứng 1).Chứng minh rằng: a4 + b4 ≥ a3b + ab3 ,với 2 số 
a, b bất kì. 
- Giải : 
 Xét hiệu: a4 + b4 - (a3b - ab3 ) = a3 ( a - b ) - b3 ( a - b ) 
 = ( a – b ) ( a3 – b3 ) 
 = ( a - b) ( a – b ) ( a2 + ab + b2 ) 
 2
 132
 =(a − b) a + b + b 0 
 24
Vậy a4 + b4 ≥ a3b + ab3. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 
*Bài toán 4: Cho a,b là hai số dương. Chứng minh rằng: 
 a3+ b 3 a + b a 2 + b 2
  
 2 2 2
- Phân tích ,tìm lời giải: 
Dựa vào đặc điểm của các biểu thức ở hai vế, ta thấy vế trái phân tích được 
thành tích các nhân tử, trong đó có nhân tử chung với vế phải. Từ đó ta sử dụng 
phương pháp dùng định nghĩa: xét hiệu hai vế và chứng minh hiệu đó không âm. 
- Giải: 
 (a+ b )( a22 − ab + b ) (a+ b )( a22 + b ) ( a + b )
 VT− VP = − =.( a − b )2 0 
 2 24
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b. 
- Khai thác bài toán: 
 + Từ lời giải bài toán trên ta thấy không nhất thiết là cả a và b là hai số 
dương, mà chỉ cần ab+ 0 là ta có: 7 
*Bài toán 6: cho x y z 0 . Chứng minh rằng: 
 y 1 1 1
 (x+ z ) + ( x + z ) ( x + z )( + ) (1) 
 xz y x z
- Giải: 
 y 11
Viết lại bất đẳng thức đã cho dưới dạng: (x+ z ) + ( x + z ) ( x + z )( x + z ). 
 xz y xz
 xz
Do x, y, z > 0 nên nhân cả hai vế với 0 ta được bất đẳng thức tương 
 xz+
đương : y2 + xz y() x + z hay yx+ yz − y2 − xz 0 
 y( x − y ) − z ( x − y ) 0
 (x − y )( y − z ) 0
Bất đẳng thức này đúng vì . Vậy bất đẳng thức (1) đúng. 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc y = z 
 x2 + 2
*Bài toán 7: Chứng minh rằng: 2 
 x2 +1
- Giải: 
 2
 2
 x2+2 x 2 + 2 − 2 x 2 + 1 x 2 + 1 − 2 x 2 + 1 + 1 ( x +−11)
Ta có: −20 = = = 
 x2+1 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 1
 Do đó: 
* BÀI TẬP ÁP DỤN 
Chứng minh rằng với mọi số a , b , c ta có : 
1. −aa2 +3 − 3 0 
2. a22+ b + ab + a − b +10 
 (abc++)2
3. abc2+ 2 + 2 
 3
4. a b−11 + b a − ab với ab 1; 1 
3.4.3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức đã biết 
 - Từ các bất đẳng thức đã biết, áp dụng các tính chất cơ bản để suy ra bất 
đẳng thức phải chứng minh. 
 - Bài toán 2 có thể áp dụng phương pháp này. 
*Bài toán 2 : Chứng minh rằng với 3 số a, b, c bất kì ta có : 
 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca 
 - Giải : 
Ta có: ( a - b )2 ≥ 0 hay a2 + b2 – 2ab ≥ 0 . 
 Do đó a2 + b2 ≥ 2ab (1) 
Tương tự ta có : b2 + c2 ≥ 2bc (2) 
 c2 + a2 ≥ 2ca (3) 
Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) ta được: 
 2( a2 + b2 + c2 ) ≥ 2 ( ab + bc + ca ) 
Suy ra: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca 9 
 abc++
1. Cho a, b, c là 3 số không âm. Chứng minh: 3 abc 
 3
2. Cho a, b, x, y là các số không âm. Chứng minh : 
 2
 11
 (a+ x)( b + y) ( a + b) +( x + y) 
 22
3. Cho a, b, c là ba số dương và abc+ + 1.Chứng minh : 
 111
 + + 9 
 a2+2 bc b 2 + 2 ca c 2 + 2 ab
 a+ c b + d c + a d + b
4. Cho a;b;c;d >0.Chứng minh rằng: + + + 4 (Minh chứng 2) 
 a+ b b + c c + d d + a
3.4.4) Phương pháp chứng minh phản chứng 
 - Để chứng minh mệnh đề AB , ta giả sử AB từ đó lập luận để dẫn đến điều 
vô lí. Như vậy, ta đã dùng phương pháp chứng minh phản chứng. 
 - Bài toán 4 và bài toán 8 có thể áp dụng phương pháp này. 
*Bài toán 4: cho a,b là hai số dương . Chứng minh rằng : 
 a3+ b 3 a + b a 2 + b 2
  
 2 2 2
- Giải: 
 a3+ b 3 a + b a 2 + b 2
Giả sử . 
 2 2 2
 a3+ b 3 a + b a 2 + b 2
 −  0
 2 2 2 
 20(a3 + b 3) −( a + b) ( a 2 + b 2 ) 
 (a − b)2 ( a + b) 0 vô lý vì a,b là hai số dương. 
Vậy 
 1 1 4
*Bài toán 9: Cho x, y là hai số dương. Chứng minh rằng + . 
 x y x+ y
- Giải: 
 1 1 4
Giả sử + 
 x y() x+ y
Nhân cả hai vế với xy( x + y ) > 0, ta có (x + y ) ( x + y ) < 4xy 
Bởi vậy (x + y )2 – 4xy < 0 hay ( x – y )2 < 0 (vô lý ) 
Vậy . 
 - Các ví dụ khác : 
*Bài toán 12: Cho các số a, b, x, y liên kết với nhau bởi hệ thức a + b = 2xy . 
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: 
 x2 ≥ a (1) 
 y2 ≥ b (2) 
- Phân tích, tìm lời giải: Chú ý đến các biểu thức đã cho trong bài x2, y2, 2xy . 
Từ đó ta có : 
 x2 + y2 ≥ 2xy = a + b 11 
 ab+
 Từ (1) và để xuất hiện các biểu thức của (2) ta nhân hai vế của (1) với 
 2
 k+1
 a+ b akk + b a + b
,ta có . 
 2 2 2
 ak++11+ b k a + b a k + b k
 Để chứng minh (2) ta đi chứng minh . (3) 
 2 2 2
 Từ (3) ak++11 + b k ab k + ba k . Điều này đã có như ở phần khai thác bài toán 4. 
- Giải : 
 2
 a22++ b a b
 + Với n = 2 : (1) trở thành 
 22 
 a2+ b 2 a 2 +2 ab + b 2
 Hay 
 24
 2a2 + 2 b 2 a 2 + 2 ab + b 2
 a22 + b −20 ab 
 (ab −)2 0 
 Bất đẳng thức này đúng. Vậy bất đẳng thức (1) luôn đúng. 
 k
 akk++ b a b
 + Giả sử (1) luôn đúng với n = k (k 2) ta có : 
 22 
 Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là 
 k+1
akk++11++ b a b
 (*) 
 22 
 k
 akk++ b a b ab+
Thật vậy, nhân hai vế của với 0 ta có 
 22 2
Để chứng minh (*) ta đi chứng minh : 
 (**) 
 2(ak++11 + b k) ( a + b)( a k + b k ) 
 22ak+1 + b k + 1 a k + 1 + ab k + ba k + 1 + b k + 1 
 ak++11 + b k − ab k − ba k 0 
 akk( a − b) − b( a − b) 0 
 (a − b)( akk − b ) 0 
 (a − b)2 ( ak−1 + a k − 2 b +... + ab k − 2 + b k − 1 ) 0 
Bất đẳng thức này đúng vì với a, b > 0. Bởi vậy (**) đúng. 
 k+1
 akk++11++ b a b
 Từ (*) và (**) suy ra 
 22 
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n 2 . 
- Khai thác bài toán: 
 + Bài toán vẫn đúng với ab+ 0 và với mọi số tự nhiên n.