Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm giải toán về hàm số trong đề thi vào lớp 10

 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài
 Sau khi trực tiếp giảng dạy môn toán 9 với chương trình sách giáo khoa 
mới trong nhiều năm. Trong chương trình đại số lớp 9 sau khi học xong bài 
phương trình bậc hai và bài hệ thức Vi-ét và ứng dụng có một mảng kiến thức 
rất hay về hàm số và đường thẳng (tương giao giữa đường thẳng y = mx + n và 
parabol y = ax2). Đặc biệt dạng toán trên hay có trong đề thi vào lớp 10. Dạng 
toán trên sử dụng kiến thức về phương trình bậc hai là có thể giải quyết được, 
nhưng áp dụng thì rất phong phú. Qua thực tế giảng dạy và qua quá trình ôn thi 
vào lớp 10, thông qua theo dõi các bài kiểm tra, các bài thi vào lớp 10 thì làm 
dạng bài tập trên thật sự không quá khó nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm chưa 
thật tốt, có thể do chưa nắm chắc dạng bài, chưa vận dụng kỹ năng giải phương 
trình bậc hai một cách linh hoạt sáng tạo vào từng bài toán cụ thể. 
 Hơn nữa sách giáo khoa tham khảo thì rất nhiều nhưng các tác giả viết rất 
chung chung và thật sự tôi thấy khó với học sinh có thể đọc và áp dụng được. 
Qua quá trình giảng dạy tôi không muốn học sinh của mình sợ về dạng toán trên 
nên đã nghiên cứu tập hợp lại để có một phương pháp giải cụ thể cho từng dạng 
toán nhằm giúp người đọc dễ hình dung hơn về dạng toán trên.
 Đứng trước yêu cầu đó và để đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng 
 dạy, góp phần giải quyết những khó khăn cho người học, đồng thời để công tác 
ôn thi vào lớp 10 có kết quả tốt. Qua sưu tầm tài liệu tôi mạnh dạn viết sáng kiến 
 “ Kinh nghiệm giải toán về hàm số trong đề thi vào lớp 10’’
II. Mục đích nghiên cứu
 Trong đề tài tôi cố gắng làm rõ bài tập về hàm số trong đề thi vào lớp 10 (bài 
toán tương giao của đường thẳng và parabol) và các dạng bài tập có liên quan
 Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối 
tượng học sinh, phát tuy tính tích cực của học sinh, tôi giúp các em đây là dạng 
toán có cách giải rõ ràng nhờ kiến thức về phương trình bậc hai
III. Đối tượng nghiên cứu
 Các bài toán về hàm số trong đề thi đặt ra cho các em thách thức không hề 
nhỏ khi giải các dạng toán này. Với ý nghĩa đó tôi muốn phân tích bài toán chỉ 
ra bản chất của vấn đề giúp học sinh hiểu từ đó giải được các dạng toán này góp 
phần tạo tự tin cho các em học sinh khi làm dạng toán trên khi thi vào lớp 10
 Đề tài được áp dụng nghiên cứu là học sinh lớp 9 trường THCS Phú 
Phương – Huyện Ba Vì- TP Hà Nội nơi tôi đang trực tiếp giảng dạy và dạy ôn 
thi vào lớp 10
IV. Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp sư phạm: Quan sát khi cho các em làm bài tập, khi xét khả 
năng thực sự của các em, các em trao đổi như thế nào? Và trao đổi vấn đề gì
 Phương pháp thực nghiệm: Giảng dạy trực tiếp trên lớp để thấy được những 
vướng mắc của học sinh khi giải một số dạng toán
 1/14 1.2. Đối với giáo viên
 - Tìm các phương pháp giải cho các dạng bài
 - Tìm các bài tập về hàm số ( bài tập về tương giao giữa đường thẳng và 
parabol) phù hợp mà đề thi hay có
2. Những biện pháp cụ thể
2.1. Bài toán về hàm số trong đề thi
Cho parabol (P): y = ax2 và đường thẳng (d): y = mx + n. Tìm m để (d) cắt (P) 
tại hai điểm phân iệt có hoành độ thỏa mãn điều kiện cho trước
 Cách giải
Bước 1: Xét phương trình hoành độ: ax2 = mx + n
 ax2 - mx - n = 0 (1)
Bước 2: Tính ∆ và chỉ ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Bước 3: Viết hệ thức Vi-ét của phương trình (1)
Bước 4: Biến đổi hệ thức về dạng x1 + x2 ; x1. x2 hoặc tính x1 và x2
Bước 5: Giải phương trình ẩn m nhận được và kết luận
2.2. Một số bài toán 
Bài toán 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = - x + 2 và 
parabol (P): y = x2
 a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
 b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB
 Bài giải
a) Xét phương trình hoành độ: x2 = - x + 2 
 x2 + x - 2 = 0
Vì a + b + c = 1 + 1 + (-2) = 0 nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = - 2
Thay x1 = 1; x2 = -2 vào parapol (P), ta được y1 = 1; y2 = 4
Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là (1; 1) và (-2; 4) y
b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P)
Ta có: A(1; 1); B(-2; 4) B 4
Gọi H, K là hình chiếu của A và B trên Ox
Suy ra: H(1; 0) và K(-2; 0)
 2
Ta có: AH = 1; BK = 4; OH = 1; OK = 2 = 2
 1 A
HK = OH + OK = 1 + 2 = 3 K H
 -3 -2 -1 O 1 2 3 x
S = S - S - S
 OAB AHKB AHO BKO -1
 = 1 HK(AH + BK) - 1 AH.OH - 1 BK.OK
 2 2 2
 = 1 .3(1 + 4) - 1 .1.1 - 1 .2.4 = 3 (đvdt)
 2 2 2
Kinh nghiệm rút ra qua bài tập trên: 
 - Giải phương trình hoành độ tìm x1; x2
 3/14 - Nằm về bên phải của trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
dương
 0
 x1 x2 0
 x1.x2 0
- Nằm về bên trái của trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt âm
 0
 x1 x2 0
 x1.x2 0
- Nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
 a.c < 0
Bài toán 3: 
 1) Cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = (2m + 1)x - 2m + 3. Tìm 
m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1; x2 
thỏa mãn điều kiện (2x1 - 1)(2x2 - 1) = 4
 Bài giải
Xét phương trình hoành độ: 2x2 = (2m + 1)x - 2m + 3 
 2x2 - (2m + 1)x + 2m - 3 = 0 (1)
 ∆ = (2m + 1)2 - 4.(2m - 3) = (2m - 3)2 + 16
 Vì (2m 3)2 16 0 m nên ∆ > 0 m
=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
=> Đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
Gọi x1; x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P) thì x1; x2 là các nghiệm của 
phương trình (1)
 2m 1
 x x 
 1 2 2
Theo định lý Vi - ét, ta có 
 2m 3
 x .x 
 1 2 2
Ta có: (2x1 - 1)(2x2 - 1) = 4 
 2m 3 2m 1
 4x x - 2(x + x ) = 3 4  2  3
 1 2 1 2 2 2
 4m 6 2m 1 3 m 5
2) Cho parabol (P): y = 1 x2 và đường thẳng (d): y = mx - 1 m2 + m + 1. Tìm m 
 2 2
để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn điều kiện 
 x1 x2 2
 Bài giải
 5/14 4) Cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = mx - m + 1. Tìm m để 
đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1; x2 thỏa 
mãn x1 x2 4
 Bài giải
Xét phương trình hoành độ: x2 = mx – m + 1 
 x2 - mx + m -1 = 0 (1)
 ∆ = (- m)2 - 4(m - 1) = (m – 2)2 
Vì (m - 2)2 > 0 m 2 nên ∆ > 0 m 2
=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
=> Đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
Gọi x1; x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P) thì x1; x2 là các nghiệm của 
phương trình (1)
 x1 x2 m
Theo định lý Vi - ét, ta có 
 x1x2 m 1
 2 2
Ta có x1 x2 4 ( x1 x2 ) 4 
 2
 (x1 x2 ) 2x1x2 2 x1x2 16
 m2 2(m 1) 2 m 1 16 (2)
Trường hợp 1: m 1
Ta có (2) m2 – 2(m - 1) + 2(m – 1) = 16
 m = 4 (thỏa mãn) hoặc m = - 4 (loại)
Trường hợp 2: m < 1
Ta có (2) m2 – 2(m - 1) - 2(m – 1) = 16
 m2 – 4m – 12 = 0
 (m + 2)(m - 6) = 0 m = - 2 (thỏa mãn); m = 6 (loại)
Vậy m = 4; m = - 2
 5) (Đề thi vào lớp 10 TP Hà Nội năm 2019 – 2020): Trong mặt phẳng tọa độ 
Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2mx – m2 + 1 và parabol (P): y = x2 
 a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
 b) Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 
 1 1 2
x1; x2 thỏa mãn 1
 x1 x2 x1x2
 Bài giải
a) Xét phương trình hoành độ: x2 = 2mx – m2 + 1 
 x2 - 2mx + m2 – 1 = 0 (1)
 ∆ = (- 2m)2 - 4(m2 - 1) = 4m2 – 4m2 + 4 = 4 
Vì ∆ > 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 
=> Đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
 7/14 3m
 x1 
 x1 x2 2m 2
Từ (2) và (4) ta được 
 x 3x m
 1 2 x 
 2 2
 3m m 3m m 2
Thay x ; x vào (3), ta được  2m 1 3m 8m 3 0 
 1 2 2 2 2 2
 (m 2)(3m 2) 0
 2
 m 2 (thỏa mãn) hoặc m (thỏa mãn)
 3
 2
Vậy m 2 ; m 
 3
Kinh nghiệm rút ra
Hệ thức x1; x2 không đối xứng: x1 = ax2 hoặc ax1 bx 2 = c 
 - Kết hợp hệ thức và định lý Vi – ét tìm x1; x2
 - Thay x1; x2 trở lại vào hệ thức Vi -ét
Bài toán 4: Cho parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d): y = mx - 1
 1) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1; x2 (với x1 < x2) 
thỏa mãn x1 x2 3
 Bài giải
a) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình
 - x2 = mx - 1 x2 + mx - 1 = 0 (1)
 Vì a.c = -1 < 0
=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
=> Đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
b) Gọi x1; x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P) thì x 1; x2 là các nghiệm của 
phương trình (1)
 x1 x2 m
 Theo định lý Vi - ét, ta có 
 x1x2 1
 Vì x1. x2 = - 1 < 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
 Mà với x1 < x2 nên x1 < 0 < x2 
 => x1 x1; x2 x2
 Ta có x1 x2 3 x1 x2 3 
 x1 x2 3 m 3 m 3
 Vậy m = 3
 9/14 2.3. Bài tập tương tự
 Để học sinh nắm vững các dạng toán đã được nêu ở trên thì giáo viên cần 
phải tìm tòi, cung cấp thêm cho học sinh nhiều bài toán để học sinh rèn luyện. 
Những bài tập rèn luyện là những bài tập tương tự những bài đã làm và các dạng 
toán mà giáo viên đã hệ thống
Bài tập 1 (Đề thi vào lớp 10 TP Hà Nội năm 2014 – 2015): Trên mặt phẳng tọa 
độ Oxy cho đường thẳng (d) y = - x + 6 và parabol (P) y = x2
 1) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P)
 2) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB
Bài tập 2: Cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = x - 2m + 4
 1) Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1
 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung
Bài tập 3 (Đề thi vào lớp 10 TP Hà Nội năm 2011 – 2012): 
Cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 2x - m2 + 9
 1) Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1.
 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của 
trục tung
Bài tập 4: Cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 2mx - 2m + 1
 1) Tìm m để parabol (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về bên phải của trục tung
Bài tập 5: Cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = mx + 2m + 5
 1) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở bên trái của trục tung
Bài tập 6: Cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = mx - m + 1. 
 Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 
x1; x2 thỏa mãn x1 = 9x2
Bài tập 7: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2mx m2 1
 1) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) khi m = 1
 2) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1; x2 
thỏa mãn x1 + 2x2 = 7
Bài tập 8 (Đề thi vào lớp 10 TP Hà Nội năm 2010 – 2011): 
Cho parabol (P) y = - x2 và đường thẳng (d) y = mx - 1 
 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt parabol 
(P) tại hai điểm phân biệt 
 2) Gọi x1; x2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và 
 2 2
parabol (P). Tìm gí trị của m để x1 x2 x2 x1 x1x2 3
Bài tập 9: Cho parabol (P) y = 1 x2 và đường thẳng (d) y = mx - 2m - 1
 4
 1) Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1
 11/14