Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh tìm nghiệm nguyên của phương trình nhiều ẩn

 1/16
 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Bài toán tìm nghiệm nguyên của một phương trình trong chương trình phổ 
thông THCS là một loại toán khó đối với học sinh. Trong chương trình sách 
giáo khoa toán lớp 8; lớp 9 hầu như không đề cập đến phương trình nghiệm 
nguyên nhưng bài toán tìm nghiệm nguyên của phương trình nhiều ẩn lại xuất 
hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, cấp thành phố 
nên cũng thu hút được sự quan tâm của rất nhiều học sinh.
 Đối với đa số học sinh khi gặp bài toán tìm nghiệm nguyên của phương 
trình nhiều ẩn thường cảm thấy khó và không biết hướng giải.
 Qua thực tế giảng dạy học sinh khá, giỏi lớp 8; lớp 9, tôi nhận thấy: Các 
em thường lúng túng khi gặp bài toán tìm nghiệm nguyên của phương trình 
nhiều ẩn. Các em không giải được, giải sai hoặc giải được nhưng lập luận không 
chặt chẽ, xét thiếu trường hợp, thiếu nghiệm. Chính vì vậy các em có tâm lí e 
ngại, không hứng thú học tập khi gặp bài toán tìm nghiệm nguyên của phương 
trình nhiều ẩn.
 Với suy nghĩ, người thầy phải có trách nhiệm hướng dẫn cho học sinh 
hiểu và hệ thống được các phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình 
nhiều ẩn. Người thầy phải biết hướng dẫn học sinh phân dạng, khai thác, phân 
tích bài toán và chọn hướng đi phù hợp với từng bài. Từ đó phát huy năng lực 
sáng tạo, sự độc lập, tìm tòi suy nghĩ nhằm chuyển kiến thức của thầy sang kiến 
thức của trò một cách hiệu quả nhất.
 Với những lí do cơ bản trên, để giúp các em làm tốt dạng toán này, tôi đã 
chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh tìm nghiệm nguyên của phương trình 
nhiều ẩn.”
II. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI
 - Đề tài nghiên cứu các bài toán tìm nghiệm nguyên của phương trình 
nhiều ẩn đối với học sinh lớp 8; lớp 9. Nghiên cứu cách thức truyền đạt nội dung 
bài toán tới học sinh.
 - Đề tài giúp các em hiểu và nắm vững một số phương pháp tìm nghiệm 
nguyên của phương trình nhiều ẩn, biết phân tích, suy luận để tìm hướng giải, 
biết phân chia bài toán thành những bài toán nhỏ dễ giải quyết hơn, biết “ đưa 
khó về dễ, đưa lạ về quen”, biết liên hệ tình huống đang giải quyết với những 
tình huống tương tự, biết phân dạng bài toán và chọn hướng đi phù hợp với từng 
bài...
 - Đối với học sinh khá, giỏi hướng dẫn các em khai thác những bài toán 
khó, bài toán gốc, bài toán tổng quát để giải quyết một lớp các bài toán. 3/16
 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 Để khắc phục những lỗi sai của học sinh, đặc biệt để giúp các em giải 
quyết tốt bài toán: “ Tìm nghiệm nguyên của phương trình nhiều ẩn.”, tôi đã 
triển khai đề tài, tổ chức cho học sinh thảo luận, học tập theo nhóm, trao đổi 
thoải mái cởi mở với học sinh đồng thời hướng dẫn động viên học sinh nghiên 
cứu, học tập đạt kết quả tốt nhất.
Tên sáng kiến kinh nghiệm: 
 “Hướng dẫn học sinh tìm nghiệm nguyên của phương trình nhiều ẩn”
1. Phương trình dạng: ax + by = c (1) (a, b, c nguyên)
+ Nếu (a; b) = 1 thì phương trình (1) bao giờ cũng có nghiệm nguyên.
+ Nếu a; b có một ước số chung không phải là ước của c thì phương trình (1) 
không có nghiệm nguyên.
+ Muốn tìm các nghiệm nguyên của phương trình (1), ta phải tách được phần 
nguyên ra khi biểu diễn x theo y hoặc y theo x.
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 3x + 4y = 29
Phân tích:
 + Ta thấy (3; 4) = 1 nên phương trình đã cho luôn có nghiệm nguyên.
 + Ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) rồi tách phần nguyên ra và đặt 
điều kiện cho phân thức còn lại cũng là một số nguyên, từ đó tìm ra nghiệm của 
phương trình.
Giải
 29 4y 2 y
Ta có: x 9 y 
 3 3
 2 y
Muốn có x, y ¢ thì ¢ hay 2 – y = 3t (t ¢ )
 3
 y = 2 – 3t
 x = 9 – y + t = 9 – 2 + 3t + t = 4t +7
 x 4t 7
 Vậy (t ¢ ) là tất cả các nghiệm nguyên của phương trình.
 y 2 3t
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
 5x – 112 = - 7y
Phân tích:
 Biến đổi đưa về dạng ax + by = c và giải tương tự bài 1.
Giải 5/16
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình 
 5x – 40y = 11
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
 3x + 17y = 159
2. Tách phần nguyên
 Ta có thể tách phần nguyên riêng ra và đặt điều kiện cho phân thức còn lại 
cũng là một số nguyên, từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
 5x – 3y = 2xy – 11 (*)
Phân tích:
 Ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x), rồi tách phần nguyên ra và đặt điều 
kiện cho phân thức còn lại cũng là một số nguyên, từ đó tìm ra nghiệm của 
phương trình.
Giải
PT(*) 11 5x y(2x 3)
Dễ thấy 2x + 3 0 (vì x nguyên dương), do đó : 
 5x 11 2(5x 11) 7
 y 2y 2y 5 
 2x 3 2x 3 2x 3
 7
Muốn có x, y nguyên dương thì ¢ 2x 3 Ư(7) = 1; 7
 2x 3
Trong 4 trường hợp này, phương trình chỉ nhận một nghiệm nguyên dương với 
2x + 3 = 7. Lúc đó x = 2 ; y = 3.
 Vậy nghiệm nguyên dương (x ; y) của phương trình (*) là (2 ; 3)
3. Đưa về phương trình ước số
 Ta gọi phương trình ước số là phương trình có vế trái là một tích các biểu 
thức có giá trị nguyên, vế phải là một hằng số nguyên. Bằng cách tìm ước của 
hằng số đó, xét mọi trường hợp có thể xảy ra, ta tìm được nghiệm nguyên của 
phương trình đã cho.
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 x + xy + y = 9 (*)
 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 - hệ chuyên ĐHKH tự nhiên 2002)
Phân tích:
 Ta nhóm hai hạng tử bất kì có nhân tử chung rồi đặt nhân tử chung đó ra 
ngoài và thêm bớt hằng số để đưa về phương trình ước số.
Giải
PT(*) (x + 1)(y + 1) = 10 
Vì x và y là các số nguyên nên x + 1 và y + 1 là các số nguyên và là ước của 10. 7/16
 f1 (x,y,...); f2 (x,y,...); ... ; fn (x,y,...) ¢
 Xét mọi trường hợp có thể xảy ra từ đó tìm nghiệm thích hợp.
 f (x,y,...) a
* Dạng 2: ( a, b ¢ ; b > 0)
 g(x,y,...) b
 Vận dụng tính chất sau:
“ Mọi số hữu tỉ đều được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một liên phân 
số bậc n.
 a 1
 q 
 b o 1
 q1 
 q2 
 
 1
 +
 qn
Trong đó qo nguyên; q1; q2 ; ... ; qn nguyên dương và qn > 1.”
 Viết 2 vế của phương trình dưới dạng liên phân số, từ đó tìm được nghiệm 
nguyên thích hợp.
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
 x2 – 4xy + 5y2 = 169 (*) 
Phân tích:
 Áp dụng hằng đẳng thức, viết vế trái thành tổng các bình phương. Sau đó 
viết vế phải thành tổng các bình phương tương tự vế trái bằng mọi cách rồi xét 
tất cả các trường hợp có thể xảy ra để tìm nghiệm của phương trình.
Giải
PT(*) (x – 2y)2 + y2 = 169
Số 169 chỉ có 2 cách phân tích thành tổng của 2 số chính phương là :
 169 = 132 + 02 = 122 + 52 ; Mặt khác y nguyên dương.
Do đó ta có : 
 x - 2y 12 -12 5 -5
 Y 5 5 12 12
 X 22 -2(loại) 29 19
 Vậy nghiệm nguyên dương (x ; y) của phương trình (*) là : 
 (22 ; 5) ; (29 ; 12) ; (19 ; 12)
Cách 2: Sử dụng phương trình bậc hai (Phương pháp này trình bày ở phần sau) 
Bài 2: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
 31(xyzt + xy + xt + zt + 1) = 40(yzt +y + t) (*) 9/16
 x2 – x + y2 = 6
Bài 3: Tìm các số tự nhiên thỏa mãn
 1 10
 x 
 1 7
 y 
 z
5. Nhận xét về ẩn số
 Trước khi giải toán, ta nhận xét xem vai trò của các ẩn, cấu trúc của ẩn để 
có cách giải phù hợp.
* Nếu các ẩn x, y , ... có vai trò bình đẳng, ta có thể đặt điều kiện để giả sử 
 x y  hoặc x y  mà bài toán không mất tính tổng quát. Từ đó giới hạn 
bớt miền xác định của ẩn và tìm được nghiệm của phương trình.
* Nếu ẩn có cấu trúc giống nhau, như lũy thừa cùng bậc của các số nguyên liên 
tiếp hoặc tích các số nguyên liên tiếp... thì ta “ khử ẩn” để đưa phương trình về 
dạng quen thuộc hơn hoặc ít ẩn hơn. 
 Ta thường vận dụng hai nhận xét sau:
+ xn < yn < (x + a)n (a ¥ * ) yn = (x + i)n với n = 1; 2; ... ; (a - 1)
+ x(x + 1) ... (x + n) < y(y + 1) ... (y + n) < (x + a)(x + a + 1) ... (x + a + n) 
 (a ¥ * )
 y(y + 1) ... (y + n) = (x + i)(x + i + 1) ... (x + i + n) với n = 1; 2; ... ; (a - 1)
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
 x + y + z = xyz (*)
Phân tích:
 Ta thấy các ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng, do đó không mất tính tổng quát 
ta có thể sắp thứ tự các ẩn, giả sử 0 x y z . Từ đó thu hẹp miền giá trị của 
ẩn, tìm được nghiệm của phương trình.
Giải
Do vai trò của x, y, z bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử 0 x y z
Ta có: xyz = x + y + z 3z xy 3
Nếu x = y = z thì x3 = 3x x2 = 3 x ¢ (loại)
Vậy phải có ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không bằng nhau. 
 Do đó xyz < 3z xy 3 xy 1;2
 + xy = 1, mà x, y nguyên dương nên x = y = 1 2 + z = z (vô nghiệm)
 + xy = 2 , mà x, y nguyên dương , x y nên x = 1 ; y = 2 z = 3
 Vậy nghiệm nguyên dương (x ; y ; z) của PT(*) là : 
 (1 ; 2 ; 3) và các hoán vị của nó.
 Bài tập áp dụng 11/16
 x2 + 4y2 = 196
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
 4xy – y = 9x2 – 4x + 2 
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
 x3 – 100 =225y
7. Phương pháp loại trừ
 Lập luận tìm ra hữu hạn các giá trị của ẩn, thử trực tiếp loại bỏ những giá 
trị không phù hợp. Thực chất phương pháp này đã được sử dụng lồng ghép trong 
các phương pháp trên.
Bài 1: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
 x2 – 6xy + 13y2 = 100 (*)
Giải
PT(*) x2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2 
 (x – 3y)2 = 4(25 – y2) 0 y 5 và 25 – y2 là số chính phương
 + y = 0 x = 10
 + y = 1 ; y = 2 25 – y2 không là số chính phương (loại)
 + y = 3, ta có : (x - 9)2 = 4.16 x 9 8 x = 17 hoặc x = 1
 + y = 4, ta có : (x - 12)2 = 36 x 12 6 x = 18 hoặc x = 6
 + y = 5, ta có : (x - 15)2 = 0 x = 15 
 Vậy nghiệm tự nhiên (x ; y) của phương trình (*) là : 
 (10 ; 0) ; (1 ; 3) ; (17 ; 3) ; (6 ; 4) ; (18 ; 4) ; (15 ; 5)
Cách 2: Đưa về phương trình tổng rồi xét các khả năng xảy ra, loại trừ dần 
những khả năng không phù hợp.
8. Phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất
 Với một số phương trình nghiệm nguyên, ta có thể thấy ngay được một 
hoặc vài nghiệm. Bằng cách chứng minh phương trình chỉ nhận những nghiệm 
đó, ta kết luận được về nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
 x6 + 3x3 + 1 =y4 (*)
Phân tích:
 Dễ thấy x = 0 ; y = 1 và x = 0 ; y = - 1 là nghiệm của phương trình. Ta 
chứng minh rằng ngoài hai nghiệm trên phương trình không còn nghiệm nào 
khác nữa. Từ đó kết luận được nghiệm của phương trình đã cho.
Giải
Ta thấy ngay được x = 0 ; y = 1 và x = 0 ; y = -1 là nghiệm của phương trình (*). 
Ta chứng minh rằng ngoài hai nghiệm trên phương trình không còn nghiệm nào 
khác nữa. Từ đó kết luận được nghiệm của phương trình đã cho. 13/16
 Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 x2 + y2 + z2 + t2 = 2xyzt 
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
 x3 – 2y3 – 4z3 = 0
10. Phương pháp sử dụng phương trình bậc hai
 Đối với phương trình bậc hai với hai ẩn, ta viết phương trình đó dưới dạng 
phương trình bậc hai với một ẩn, rồi dùng điều kiện 0 hoặc là số chính 
phương, từ đó tìm được nghiệm nguyên của phương trình.
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0 (*)
 (Bài trong đề kiểm tra khảo sát)
Phân tích:
 Quan sát đặc điểm phương trình, ta thấy có thể viết phương trình dưới 
dạng phương trình bậc hai ẩn x (hoặc ẩn y). Sau đó sử dụng điều kiện có nghiệm 
( 0 ) hoặc có nghiệm nguyên ( là số chính phương) để chặn được khoảng 
giá trị hoặc tìm ra các giá trị cụ thể của một ẩn. Từ đó sẽ tìm được nghiệm của 
phương trình. (Lưu ý: Nếu dùng điều kiện có nghiệm của phương trình là 
 0 mà không chặn được khoảng giá trị của ẩn thì sử dụng điều kiện phương 
trình có nghiệm nguyên là là số chính phương để tìm ra các giá trị cụ thể của 
một ẩn.)
Giải
PT(*) x2 + (3y – 1)x + (2y2 – y + 3) = 0 (**)
 2 2 2
 x = (3y – 1) – 4(2y – y + 3) = y – 2y – 11
Xét điều kiện cần để phương trình (**) có nghiệm nguyên : 
 2 2
 x là số chính phương y – 2y – 11 = k (k ¥ ) 
 (y – 1)2 – k2 = 12 
 (y – 1 – k)(y – 1 + k) = 12
 (y – 1 – k) và (y – 1 + k) là ước của 12. 
Mà (y – 1 – k) + (y – 1 + k) = 2y – 2 2 và (y – 1 – k)(y – 1 + k) = 12 2 
 (y – 1 – k) và (y – 1 + k) cùng chẵn và y – 1 + k y – 1 – k . Ta có :
 y – 1 + k 6 -2
 y – 1 – k 2 -6
 y – 1 4 -4
 y 5 -3