Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh tiếp cận dạng toán “Tính giá trị biểu thức có điều kiện” trong đề thi HSG môn Toán Lớp 8

 MỤC LỤC
PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ1
 I. Cơ sở khoa học của vấn đề.1
 1. Cơ sở lí luận.1
 2. Cơ sở thực tiễn1
 II. Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm.2
 III. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và áp dụng đề tài. 2
 1. Đối tượng nghiên cứu:2
 2. Phạm vi nghiên cứu và áp dụng đề tài: 2
 3. Phương pháp nghiên cứu:2
PHẦN THỨ HAI: QUÁ TRÌNH TRIỂN KHAI THỰC HIỆN2
 I. Khảo sát thực tế.2
 1. Tình trạng khi chưa thực hiện đề tài. 2
 2. Số liệu điều tra trước khi thực hiện.3
 II. Các biện pháp thực hiện3
 1. Chuẩn bị của GV và HS. 3
 1.1. Đối với GV. 3
 1.2. Đối với HS. 4
 III. Nội dung đề tài: 4
 1. Hướng dẫn học sinh tiếp cận dạng toán biến đổi đại số trong đề thi học 
 sinh giỏi môn Toán lớp 8 4
 2. Nội dung cụ thể:4
 2.1 Các kiến thức cần chuẩn bị4
 2.2 Một số bài toán nền tảng5
 2.3 Bài tập tổng hợp9
 2.4 Các bài toán từ các đề thi chính thức HSG Toán 8 của huyện Đan 
 Phượng và đề thi HSG môn Toán cấp TP của Hà Nội. 17
 III. Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng. 20
PHẦN THỨ BA: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ SAU QUÁ TRÌNH THỰC 
HIỆN. 21
 I. Kết luận. 21
 II. Những khuyến nghị sau quá trình thực hiện đề tài. 21
 1. Đối với GV dạy toán: 21 1/21
 PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở khoa học của vấn đề. 
1. Cơ sở lí luận.
 Để đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay: dạy học phải hướng tới phát 
triển phẩm chất, năng lực của học sinh. Một trong những định hướng quan trọng 
nữa đó là tăng cường tính phân hóa trong giáo dục, định hướng này đòi hỏi người 
giáo viên phải luôn trau dồi năng lực chuyên môn để ngày một vững vàng hơn. 
Việc dạy học phân hóa trong giáo dục đáp ứng được nhu cầu và nguyện vọng học 
tập của các học sinh ở các đối tượng khác nhau; trên cơ sở năng lực tiếp thu, khả 
năng học tập và tâm lý của học sinh.
 Ở nước ta hiện nay, trong cấp học phổ thông, vấn đề đào tạo, tìm kiếm và 
bồi dưỡng học sinh trong giỏi rất được coi trọng. Đất nước ra việc bồi dưỡng nhân 
tài luôn là việc được ưu tiên hàng đầu và là một nhiệm vụ quan trọng của đất nước. 
“Hiền tài là nguyên khí quốc gia” là kinh nghiệm quý báu mà ông cha ta đã dặn 
dò để lại. Bồi dưỡng học sinh giỏi là công việc quan trọng, các học sinh giỏi cần 
được phát hiện và bồi dưỡng để tài năng của các học sinh được sử dụng đúng lúc, 
đúng chỗ.
 Từ những điều nêu trên, tôi lựa chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh tiếp cận 
dạng toán biến đổi đại số trong đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8” với mong 
muốn có thể phần nào giúp các em học sinh có phương pháp và nền tảng kiến 
thức, trau dồi kĩ năng và kinh nghiệm chinh phục một trong dạng toán thường 
xuyên xuất hiện trong đề thi trong quá trình học tập, ôn luyện.
2. Cơ sở thực tiễn
 Ngày nay kỳ thi HSG là một kỳ thi được rất nhiều nhà trường, phụ huynh 
và học sinh quan tâm. Ở huyện Đan Phượng, thường các con sẽ được công nhận 
là HSG cấp huyện môn Toán qua kỳ thi Olympic ở lớp 8 và lớp 9. Đề thi HSG 
luôn có rất nhiều dạng toán, kiến thức được trải trên diện rộng do đó nếu không 
có một phương phướng tiếp cận tốt rất dễ “lạc” trong cánh đồng mênh mông ấy. 
Việc xây dựng hệ thống các bài toán từ đó xác định được các bài toán nền tảng 
đóng một vai trò quan trọng trong việc tiếp cận đối với HS. Trong các chủ đề ôn 
thi HSG môn Toán lớp 8 hay lớp 9, chủ đề “tính giá trị biểu thức có điều kiện” là 
một chủ đề thường xuyên xuất hiện trong đề thi, thường chiếm khoảng 2 điểm và 
là một câu mà học sinh thường có thể thực hiện được. Tuy nhiên để tiếp cận và 
xử lý tốt với dạng toán này cũng cần phải có một hệ thống bài toán thường gặp, 
từ đó giúp HS bớt bỡ ngỡ hơn trong quá trình học tập dạng toán.
 Xuất phát từ những thực trạng, nguyên nhân trên và mong muốn HS có một 
hệ thống kiến thức nền tảng tốt để giải quyết dạng toán tính giá trị biểu thức tôi 3/21
 Những vấn đề này có nhiều lý do: GV còn chưa được thực hành nhiều, trải 
nghiệm các lớp ôn bồi dưỡng HSG, một số HS có tư duy nhưng chưa có phương 
pháp, hệ thống bài toán để tiếp cận.
2. Số liệu điều tra trước khi thực hiện.
 Trước khi triển khai chuyên đề tôi đã tiến hành khảo sát các con trong lớp 
đội tuyển HSG sau khi học xong dạng toán tính giá trị biểu thức (năm học 2020-
2021).
Kết quả khảo sát học sinh khi tham gia lớp học khi chưa áp dụng giải pháp:
 Thái độ khi giải dạng Lí do Tỉ lệ
 toán
 Thích Các phép biến đổi rất 2/10 (HS)
 thú vị
 (20%)
 Bình thường Một số bài tập biến đổi 3/10 (HS)
 lắt léo
 (30%)
 Chưa thích Khó hiểu, rất khó xác 5/10 (HS)
 định hướng giải
 (50%)
Bên cạnh đó thì kết thúc kì thi HSG lớp 9 cấp huyện (có phần kiến thức của dạng 
toán)
Kết quả như sau: 
 Giải Nhất Nhì Ba KK
 Số lượng 0 0 0 2
 Nhận xét: Nhiều HS đều chưa cảm thấy thực sự thích thú, phấn khởi trong 
buổi học. Đa phần các con chưa biết bắt đầu giải bài toán như thế nào, tiếp cận 
với dạng toán như thế nào.
II. Các biện pháp thực hiện
1. Chuẩn bị của GV và HS.
1.1. Đối với GV.
 Để giúp HS hứng thú hơn với tiết học bồi dưỡng HSG, phát triển các năng 
lực tư duy sáng tạo GV phải chú ý một số vấn đề cơ bản sau:
 - Thường xuyên tự học tập trau đồi để nâng cao trình độ chuyên môn. 5/21
 + (a b) a2 ab b2 a3 b3 + (a b) a2 ab b2 a3 b3
 + (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
 + a3 b3 c3 3abc (a b c) a2 b2 c2 ab bc ca 
 + (a b c)3 a3 b3 c3 3(a b)(b c)(c a) .
 * Một số biến đối quen thuộc
 + (a b)2 (a b)2 4ab + (a b)2 (a b)2 2 a2 b2 
 + a b b c a c ab a b bc b c ca c a .
 * Các đánh giá quen thuộc
 + A2 0 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A 0
 + A2 B2 2AB , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A B
2.2 Một số bài toán nền tảng
 Để có thể giải và nắm bắt hệ thống các bài toán trong dạng toán tính giá trị 
biểu thức có điều kiện, học sinh cần được tiếp thu các kiến thức gồm các hẳng 
đẳng thức và biến đổi thường gặp. Các bài toán nền tảng đóng vai trò tổng quát, 
mấu chốt để tư duy các bài toán khác.
 Dưới đây là một số bài toán mang tính chất nền tảng giúp học sinh có được 
một lượng kiến thức nền để có thể tư duy, sáng tạo giải các bài toán khác.
 1 1 1 1
 Bài 1. Cho (Điều kiện: a,b,c 0;a b c 0 ). 
 a b c a b c
 Chứng tỏ rằng trong ba số a,b,c luôn có hai số đối nhau.
 Hướng dẫn giải:
 Chuyển vế quy đồng và phân tích nhân tử
 1 1 1 1 1 1 1 1
 a b c a b c a b a b c c
 a b c a b c a b a b 
 ab c a b c ab c a b c 
 1 1 
 a b . 0
 ab c a b c 
 c a b c ab a b c c b c 
 a b . 0 a b . 0
 abc a b c abc a b c 7/21
 a b c
 b c a .
 c b c
 c a b
 Thế vào biểu thức M ta được: M 1 1 1 3 .
 c a b
 1 1
 Bài 5. Cho a 3. Tính A a5 .
 a a5
 Hướng dẫn giải:
 1 1
 Phân tích: Ta tìm a2 ;a3 sau đó sử dụng đẳng thức:
 a2 a3
 2 1 3 1 5 1 1
 a 2 a 3 a a 5
 a a a a
 3
 1 1 3
 Ta có a 3 a 3
 a a 
 3 1 1 1 3 1 3 1
 a 3 3a a 27 a 3 3.3 27 a 3 18 .
 a a a a a
 2
 1 1 2 2 1 1 2 1
 Ta có a 3 a 3 a 2 2a 9 a 2 7
 a a a a a
 2 1 3 1 5 1 1 5 1
 a 2 a 3 a a 5 a 5 3 7.18 
 a a a a a
 1
 a5 7.18 3 123 .
 a5
 Vậy A 123.
 x y z a b c x2 y2 z2
 Bài 6. Cho 1 và 0 . Chứng minh: 1
 a b c x y z a2 b2 c2
 Hướng dẫn giải:
 Nhận thấy biểu thức cần chứng minh có dạng bình phương, ta bình phương 
 x y z
hai vế của đẳng thức 1.
 a b c
 2
 x y z x y z 
 Ta có: 1 1 
 a b c a b c 
 x2 y2 z2 xy xz yz 
 2 2 2 2 1.
 a b c ab ac bc 
 a b c c a b c ay bx z xy
 Lại có 0 .
 x y z z x y z xy c ay bx
 xy xz yz xy z x y 
 Vậy 2 2 .
 ab ac bc ab c a b 9/21
 bc ca ab abc abc abc
 Ta lại có: 
 a2 b2 c2 a3 b3 c3
 1 1 1 3
 abc 3 3 3 abc. 3 .
 a b c abc
 Bài 10. Cho các số thực dương x, y thoả mãn x2 3xy 10 và y2 xy 6 . Tính 
giá trị của biểu thức M x 3y . (Đề Oplympic Toán 8 Đan Phượng 2022-2023).
 Hướng dẫn giải:
 Gọi x2 3xy 10 là (1) ; y2 xy 6 là (2)
 Theo bài ra ta có: x2 3xy 9 y2 xy 64 (cộng (1) với 9 lần (2))
 x2 6xy 9y2 64
 (x 3y)2 64 .
 Do x, y 0 nên x 3y 8. Vậy M 8 .
2.3 Bài tập tổng hợp
 Dưới đây là các bài tập tổng hợp giúp học sinh trau đồi, luyện tập nâng cao 
kĩ năng tính giá trị biểu thức có điều kiện.
 Bài tập tổng hợp gồm các bài toán tổng hợp từ nhiều nguồn mà tôi sưu tầm 
và biên soạn được.
 Bài 1. Cho a b 2 và a2 b2 20 . Tính a3 b3 .
 Hướng dẫn giải:
 2 2 2
 (a b) a b 22 20
 ab 8
 2 2
 a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 23 3.( 8).2 56
 1 1 1 1
 Bài 2. Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn: x y z 2022 và 
 x y z 2022
 1 1 1 1
 .Chứng minh rằng .
 x2021 y2021 z2021 x2021 y2021 z2021
 Hướng dẫn giải:
 1 1 1 1 x y x y
 Từ giả thiết suy ra 0 0 .
 x y z x y z xy z(x y z)
 x y 0; z 2022
 (x y)(y z)(z x) 0 y z 0; x 2022 .
 z x 0; y 2022
 1 1 1 1 1 1 1
 TH1: 
 x2021 y2021 z2021 y 2021 y2021 20222021 20222021
 1 1
 y 2021 y2021 20222021 20222021 11/21
 2b ab 3
 G G 1.
 3 2b ab
 1 1 1
Bài 6. Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 .
 x y z
 yz xz xy
Tính giá trị của biểu thức: A 
 x2 2yz y2 2xz z2 2xy
Hướng dẫn giải:
Ta có:
 1 1 1 xy yz zx
 0 0 xy yz zx 0 yz xy xz 
 x y z xyz
 x2 2yz x2 yz xy xz x(x y) z(x y) (x y)(x z) .
Tương tự: y2 2xz (y x)(y z); z2 2xy (z x)(z y)
 yz zx xy
Do đó: A 
 (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y)
Tính đúng A 1
 1 1 1 
Bài 7. Cho 3 số a,b,c khác 0 thoả mãn (a b c) 1. Tính giá trị 
 a b c 
của biểu thức: M a2017 b2017 b2019 c2019 c2021 a2021 
Hướng dẫn giải:
 1 1 1 
Đặt (a b c) 1(*) 
 a b c 
 1 1 1 
Do (a b c) 1 a b c 0 
 a b c 
 1 1 1 1
Do đó (*) 
 a b c a b c
 1 1 1 1 a b a b
 0 0
 a b c a b c ab c(a b c)
 1 1 
 (a b) 0
 ab c(a b c) 
 ac cb c2 ab
 (a b) 0
 abc(a b c)
 (c b)(c a)
 (a b) 0 
 abc(a b c)
 (a b)(c b)(c a) 0
Suy ra tồn tại 2 trong 3 số a,b,c là 2 số đối nhau. Do đó tồn tại ít nhất 1 
trong các tổng
 a2017 b2017 ,b2019 c2019 ,c2021 a2021 bằng 0 .