Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh áp dụng một số phương pháp tính tổng các phân số viết theo quy luật, Toán 6

 MỤC LỤC
 Trang
PHẦN I: MỞ ĐẦU .................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................1
2. Nhiệm vụ đề tài......................................................................................................2
3. Mục đích nghiên cứu .............................................................................................2
4. Đối tượng, thời gian nghiên cứu............................................................................2
5. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................2
PHẦN II: NỘI DUNG .............................................................................................3
I. Cơ sở lí luận ........................................................................................................3
II. Cơ sở thực tiễn ..................................................................................................3
1. Thuận lợi ...............................................................................................................3
2. Khó khăn ...............................................................................................................3
III. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .....................4
IV. Một số phương pháp tính tổng các phân số viết theo quy luật .....................5
1. Phương pháp đặt thừa số chung để rút gọn ...........................................................5
2. Phương pháp tách các số hạng để tạo ra dãy khử liên tiếp....................................6
3. Sử dụng nhân với một số, cộng, trừ biểu thức để tạo ra dãy khử liên tiếp............9
4. Các bài toán tổng hợp............................................................................................9
V. Kết quả thực hiện .............................................................................................12
 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ..................................................14
1. Kết luận ...............................................................................................................14
2. Khuyến nghị .......................................................................................................14
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................16 2
“Hướng dẫn học sinh áp dụng một số phương pháp tính tổng các phân số viết 
theo quy luật”.
2. Nhiệm vụ của đề tài
 - Nghiên cứu lí do chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh áp dụng một số 
phương pháp tính tổng các phân số viết theo quy luật”.
 - Xây dựng hệ thống bài tập “Bài toán tính tổng các phân số viết theo quy 
luật” với các phương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài .
 - Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập “Bài toán tính 
tổng các phân số viết theo quy luật” trong giảng dạy.
 - Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu.
3. Mục đích nghiên cứu:
 - Chia sẻ kinh nghiệm với giáo viên Toán THCS.
 - Giúp học sinh biết cách định hướng và giải bài tập một cách tốt nhất.
 - Phát huy trí lực, rèn luyện khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng 
đặc thù riêng lẻ.
 - Tạo cho học sinh lòng ham mê, yêu thích học tập, đặc biệt là học toán bằng 
cách phân loại và cung cấp phương pháp giải cho các dạng bài toán từ cơ bản, 
đơn giản phát triển thành các bài phức tạp.
 - Khuyến khích học sinh giỏi tìm ra nhiều cách giải cho một bài tập để cho 
học sinh nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó tìm ra 
nhiều cách giải hay và có thể phát triển bài toán mới.
 - Giúp học sinh tự tin, không bỡ ngỡ khi giải dạng bài toán này trong các kì 
thi khác nhau ở bậc học THCS. 
 - Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập môn Toán THCS.
4. Đối tượng và thời gian nghiên cứu
 - Học sinh lớp 6A2 của Trường THCS Tả Thanh Oai học kỳ 2 năm học 
 2019 - 2020 và năm học 2020 - 2021.
5. Phương pháp nghiên cứu
 Để thực hiện sáng kiến này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:
 5.1) Đọc tài liệu và sách tham khảo.
 5.2) Phương pháp khảo sát thực tiễn.
 5.3) Phương pháp quan sát sư phạm
 5.4) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
 5.5) Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm. 4
 III. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
 Trước khi triển khai tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết của các em học 
 sinh lớp 6A2 trong việc giải một số bài toán về dãy phân số viết theo quy luật 
 trong 10 phút đầu giờ hoặc cuối giờ qua một số bài tập sau.
 2 2 2 2
 Bài 1: Tính : A ..... 
 1.3 3.5 5.7 99.101
 5 5 5 5
 Bài 2: Tính: B .... 
 3.7 7.11 11.15 107.111
 2 4 6
 1
 Bài 3: Tính: C 59 117 271 
 5 10 15
 2
 59 117 271
 1 1 1 1
 Bài 4: Tính: D ...... 
 1.2.3 2.3.4 3.4.5 28.29.30
 * Thống kê kết quả:
 Bài Sĩ số Điểm < 5đ 5đ - 6,4 đ 6,5đ - 7,9đ 8đ - 10đ
 Bài 1 49 em 40 em 6 em 3 em 0 em
 Bài 2 49 em 35 em 8 em 5 em 1 em
 Bài 3 49 em 31 em 10 em 6 em 2 em
 Bài 4 49 em 36 em 7 em 5 em 1 em
 *Nhận xét: 
Sau khi kiểm tra và chấm bài lớp 6A2 của trường tôi nhận thấy học sinh còn 
những tồn tại như sau:
 - Học sinh có nhiều em còn chưa biết cách giải một số bài toán đơn giản về 
tính tổng dãy phân số dạng như bài kiểm tra. 
 - Một số em biết làm nhưng lời giải trình bày còn dài dòng và rắc rối, nhầm 
lẫn, chưa biết cách tìm ra quy luật của dãy số.
 - Học sinh chưa phát huy được tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi 
kiến thức mới.
 * Trước thực trạng của lớp, vấn đề đặt ra cho tôi là làm thế nào để giúp học 
sinh của lớp tiếp thu được nội dung bài học. Kích thích sự ham mê học toán và 
làm bài tập ở nhà. Tôi nghĩ mình phải tìm tòi, hệ thống lại kiến thức rồi đưa ra 
các phương pháp giải các dạng toán từ dễ đến khó để học sinh nắm bắt được và 
làm tốt các bài toán tính tổng các phân số viết theo quy luật không chỉ trong các 
bài thi cuối kì mà trong cả các kì thi học sinh giỏi, học sinh năng khiếu. 6
2. Phương pháp tách các số hạng để tạo ra dãy khử liên tiếp:
 2.1: Ví dụ: Tính tổng
 1 1 1 1 1
 a) A ... 
 1.2 2.3 3.4 49.50 50.51
 1 1 1 1
 b) B .... 
 25.27 27.29 29.31 73.75
 1 1 1 1
 c) C ... 
 1.2.3 2.3.4 3.4.5 48.49.50
 * Phân tích bài toán: 
 Trong biểu thức A ta thấy dưới mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp, tử 
là hiệu của hai thừa số dưới mẫu 1 = 2 - 1 = 3 - 2 = 4 - 3 =... = 50 - 49 = 51 - 50
Do đó ta có thể biến đổi tổng A như sau:
 2 1 3 2 4 3 50 49 51 50
 A ... 
 1.2 2.3 3.4 49.50 50.51
 2 1 3 2 4 3 51 50
 ... 
 1.2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 50.51 50.51
 Trong biểu thức B ta thấy mẫu là tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp, tử 
chưa bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu, vậy ta phải nhân thêm cả hai vế với 2 để 
tạo ra quy luật và tách thành dãy khử liên tiếp.
 Trong biểu thức C ta thấy mẫu là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp và biến 
đổi để tử bằng hiệu của thừa số cuối và thừa số đầu trong mẫu, rồi tách thành 
dãy khử liên tiếp.
 Trong dạng toán này học sinh thường mắc sai lầm là chưa biến đổi để tử 
bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu đã tách mỗi số hạng thành hiệu hai phân số và 
trong hiệu được tách thì tử của phân số bị trừ và phân số trừ không là 1.
 Ví dụ HS thường tách sai như sau:
 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
 D ... ... 
 3.7 7.11 11.15 107.111 3 7 7 11 11 15 107 111
 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1
hoặc D ... ... 
 3.7 7.11 11.15 107.111 3 7 7 11 11 15 107 111
 *Giải
a) Ta thấy: 1 = 2 - 1 = 3 - 2 = 4 - 3 =... = 50 - 49 = 51 - 50
Do đó ta có thể biến đổi tổng trên như sau:
 2 1 3 2 4 3 50 49 51 50
 A ... 
 1.2 2.3 3.4 49.50 50.51
 2 1 3 2 4 3 51 50
 ... 
 1.2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 50.51 50.51
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 51 1 50
 ... 
 1 2 2 3 49 50 50 51 1 51 51 51 8
 1 1 1 1
 *Bài toán 3: Tính nhanh: A 1 .... 
 1.10 10.3 3.20 95.20
 Ta thấy mẫu của các phân số là tích của hai số tự nhiên nhưng chưa tạo ra 
 quy luật để tách theo dạng tổng quát phương pháp khử liên tiếp. Từ đó ta 
 nhân thêm cả tử và mẫu với 5 để tạo ra quy luật trên.
 *Bài toán 4: Tính nhanh
 7 13 19 25 31 37
 A 
 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 17.20
 *Bài toán 5: Bài toán tổng quát cho các phân số có mẫu là tích của 
nhiều số tự nhiên liên tiếp:
 1 1 1
 S ... 
 n 1.2.3...m 2.3.4... m 1 n n 1 n 2 ... n m 1 
 1 1 1 
Ta có ngay S n 
 m 1 1.2.3... m 1 n 1 n 2 n 3 ... n m 1 
 với m=2;3;4... n=1; 2; 3
 *Bài toán 6: Tính tổng
 3 5 2n 1
 Sn = ....... 
 (1.2) 2 (2.3) 2 n(n 1)2
 2i 1 1 1
Ta có : ; i = 1 ; 2 ; 3; ....; n
 i(i 1)2 i 2 (i 1) 2
 1 1 1 1 1 1 n(n 2)
 S = ( 1 - ) ..... = 1 - 
Do đó n 2 2 2 2 2 2 2
 2 2 3 n (n 1) (n 1) (n 1)
 *Một số bài tập áp dụng: 
Tính các tổng sau:
 1 1 1 1 1 1 1 7
 A §S : 
 2 6 12 20 30 42 56 8
 1 1 1 668
 B ... §S : 
 1.4 4.7 2002.2005 2005
 3 3 3 11
 C ... §S : 
 15.22 22.29 85.92 460
 1 1 1 n
 D ... §S : 
 1.3 3.5 2n 1 2n 1 2n 1
 1 1 1 n2 2n
 E ... §S : 
 1.3.5 3.5.7 2n 1 2n 1 2n 3 3 2n 1 2n 3 
 10 10 10 10 5
 G ... §S : 
 56 140 260 1400 14
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 H 
 2 6 12 20 30 42 56 72 90 
 (Đề HSNK khối 6 huyện Thanh Trì năm 2020 - 2021) 10
 1 1 1 2014 2014 2014 2014
 .... .x ... 
 1.2 3.4 99.100 51 52 99 100
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
VT ... ... 
 1.2 3.4 99.100 1 2 3 4 99 100
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 ... 2. ... 
 1 2 3 4 100 2 4 100 
 1 1 1 1 1 1 1 1
 ... ... 
 1 2 3 4 100 1 2 50
 1 1 1 1
 VT ... 
 51 52 99 100
 1 1 1 
 VP 2014 .... 
 51 52 100 
 Vậy x = 2014
 4.2: Dạng 2:Rút gọn biểu thức:
 *Bài toán 2: Tính Q : P biết:
 1 1 1 1 1
 P ... 
 2 3 2014 2015 2016
 1 2 3 2013 2014 2015
 Q ... 
 2015 2014 2013 3 2 1
 Giải:
Tương tự cách làm như bài toán 1, ta tính tổng biểu thức Q như sau:
 1 2 3 2013 2014 2016
Q 1 1 1 ... 1 1 
 2015 2014 2013 3 2 2016
 1 1 1 1 1 1 
Q 2016 ... 
 2016 2015 2014 2013 3 2 
 1 1 1 1 1
Mà P = ... 
 2 3 2014 2015 2016
Do đó Q : P = 2016
 *Bài toán 3: Rút gọn biểu thức sau:
 1 1 1 1
 1 ... 
A 2 3 4 2012
 2013 2014 2015 4023 4024
 ... 2012
 1 2 3 2011 2012
 Giải:
Ta biến đổi mẫu số tương tự như cách giải bài toán 2.
 2013 2014 4023 4024 
MS 1 1 .... 1 1 
 1 2 2011 2012 
 2012 2012 2012 2012 2012
 ... 
 1 2 3 2011 2012