Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn giải bài tập có áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Lớp 8

 MỤC LỤC 
 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
 I. Lý do chọn đề tài ................................................................................. 1
II. Mục đích và nhiệm vụ: ....................................................................... 1
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..................................................... 2
IV. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu............................................... 2
V. Cơ sở nghiên cứu................................................................................. 2
 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 Chương I : Các phương pháp cơ bản....................................................... 4
 I. Phương pháp đặt nhân tử chung........................................................... 4
 II. Phương pháp dùng hằng đẳng thức..................................................... 4
 III . Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.................................................... 5
IV. Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)....................... 6
 Chương II: Các phương pháp đặc biệt..................................................... 8
I. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác.................... 8
II. Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử...................................... 10
III. Phương pháp đặt ẩn phụ (Đổi biến)................................................... 12
IV. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức............................................... 13
V. Phương pháp hệ số bất định................................................................ 16
VI. Phương pháp xét giá trị riêng............................................................ 17
 Chương III: Một số bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân 
tử............................................................................................................. 19
I. Bài toán chứng minh sự chia hết......................................................... 19
II. Bài toán tìm GTLN, GTNN .............................................................. 20
III. Bài toán rút gọn................................................................................. 21
IV. Bài toán chứng minh đẳng thức........................................................ 22
V. Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên............................ 23
VI. Giải một số phương trình.................................................................. 24
 C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
I. Kết luận .............................................................................. 26
II. Khuyến nghị............................................................................... 26 - Trước yêu cầu đổi mới phương pháp dạy - học, mỗi giáo viên chúng ta cần học 
hỏi, vận dụng, phát triển dạy học theo phương pháp dạy học tích cực nhằm phát 
huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của các em học sinh.
- Nhằm khắc sâu nội dung về phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh 
nắm được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, rèn luyện nhiều kĩ 
năng giải một số bài tập có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử, qua đó 
phát tiển năng lực tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh.
2. Nhiệm vụ:
- Trong các tiết dạy giáo viên phải thường xuyên uốn nắn các kĩ năng vận dụng 
kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử một cách linh hoạt vào các dạng bài 
tập cụ thể.
- Dạy học không chỉ cung cấp kiến thức mà còn tập dượt cho học sinh phương 
pháp làm ra kiến thức.
III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
 1. Đối tượng:
Học sinh THCS nói chung và khối 8 nói riêng ở trường THCS.
 2. Phạm vi:
Một số phương pháp, một số bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ở 
môn toán lớp 8.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp luyện tập, kiểm tra.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và thực tế giảng dạy.
- Phương pháp trao đổi với đồng nghiệp.
V. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU
Từ tháng 9 năm 2021 đến tháng 4 năm 2022.
VI. CƠ SỞ NGHIÊN CỨU
1. Cơ sở lý luận:
Để góp phần thực hiện thành công đổi mới phương pháp dạy học theo hướng 
tích cực hoá hoạt động học của học sinh dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo 
viên, để học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện giải quyết nhiệm vụ nhận 
thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức kĩ năng đã thu nhận được vào 
thực hành thì việc hướng dẫn và rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải 
các bài tập là rất cần thiết. 2021 - 2022 tôi đã nghiên cứu và đưa vào đề tài giải pháp giảng dạy sát với thực 
tế. Mong rằng với những giải pháp thiết thực này của tôi sẽ giúp các học sinh 
học tốt hơn môn toán khi lên các lớp trên.
 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 CHƯƠNG I: CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
I. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
1. Phương pháp giải:
- Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung ta 
thường làm như sau:
+ Tìm nhân tử chung
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và các nhân tử khác.
+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng 
tử ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng.
- Khi phân tích bằng phương pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép 
nhân đối với phép cộng các đa thức: AB + AC = A(B +C)
2. Ví dụ:
Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
a) 5x2y - 10xy2
b) 4x(2y - z) + 7y(z - 2y)
c) 3x3y2 - 6x2y3 + 9x2y2
d) 7x(y - 4)2 - (4 - y)3
Giải: 
a) Cả hai hạng tử của đa thức đều chứa nhân tử chung 5xy, ta có:
5x2y - 10xy2 = 5xy(x - 2y)
b) Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung, ta cần đổi dấu các hạng tử:
A = - (-A)
Nhận xét: z - 2y và 2y - z là hai đa thức đối nhau nên để làm xuất hiện nhân tử 
chung ta đổi dấu hạng tử 7y(z - 2y) thành -7y(2y - z), ta có:
4x(2y - z) + 7y(z - 2y) = 4x(2y - z) - 7y(2y - z) = (2y - z)(4x - 7y)
c) 3x3y2 - 6x2y3 + 9x2y2 = 3x2y2(x - 2y + 3) AC - AD + BC - BD = A(C - D) + B(C - D) = (C - D)(A + B).
2. Ví dụ:
Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a) 3xy + x + 15y + 5
b) 9 - x2 + 2xy - y2
c) 4x2 + 8xy - 3x - 6y
d) x2 - y2+ 2xz + z2
Giải:
a) Cách 1: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng 
tử thứ tư, ta có:
 3xy + x + 15y + 5 = (3xy + x) + (15y + 5) 
= x(3y + 1) + 5(3y + 1) = (3y + 1)(x + 5).
 Cách 2: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ bai, hạng tử thứ hai với hạng 
tử thứ tư, ta có:
 3xy + x + 15y + 5 = (3xy + 15y) + (x + 5) 
= 3y(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(3y + 1).
Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta đã nhóm các hạng tử thích hợp để sử dụng 
phương pháp đặt nhân tử chung. Đối với một đa thức có thể vó nhiều cách 
nhóm những hạng tử thích hợp.
b) 9 - x2 + 2xy - y2 = 9 - (x2 - 2xy + y2) 
= 32 - (x - y)2 = ( 3 + x - y)(3 - x + y)
Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đa nhóm ba hạng tử cuối của đa thức và đưa 
vào trong dấu ngoặc đằng trước có dấu “- ” để phân tích đa thức bằng phương 
pháp dùng hằng đẳng thức.
 2 2
c) 4x + 8xy - 3x - 6y = (4x + 8xy ) - (3x + 6y)
= 4x.(x + 2y) - 3(x + 2y) = (x + 2y)(4x - 3)
d) x2 - y2 + 2xz + z2 = (x2 + 2xz +z2) - y2 
= (x + z)2 - y2 = (x + y + z)(x - y + z)
IV. PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
- Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để 
có thể phân tích đa thước thành nhân tử. + Đặt nhân tử chung:
 2 2 2
M4 = 3xy (x - 2x - y - 2yz - z + 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?
 2 2 2
+ Nhóm hạng tử: M4 = 3xy x - 2x + 1) - (y + 2yz + z 
 2 2
+ Dùng hằng đẳng thức: M 4 = 3xy(x - 1) - (y + z)  xem xét hai hạng tử trong 
ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
M4 = 3xy(x + y + z - 1)(x - y - z - 1)
- Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối 
hợp sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bước 
phân tích được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích được nữa).
 CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT
I. PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ
Trong một số trường hợp bằng các phương pháp đã học không thể giải được, mà 
ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng được các 
phương pháp đã biết.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: N = a2 - 6a + 8
Cách 1: N = a2 - 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a))
 = (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử)
 = a(a - 4) - 2(a - 4) (Đặt nhân tử chung)
 = (a - 4)(a - 2) (Đặt nhân tử chung)
Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó 
có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng 
tử còn lại.
Cách 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)
 = (a2 - 6a + 9) - 1 (Nhóm hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức)
 = (a - 3)2 - 1 (Hằng đẳng thức)
 = (a - 2)(a - 4) (Dùng hằng đẳng thức)
Cách 3: N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = (- 4a) + ( - 2a) + Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3.
Từ đó ta phân tích:
x2 - x - 6 = x2 + 2x - 3x - 6 = x(x + 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x - 3)
Chú ý: Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax 2 + bx + c có b là số lẻ, hoặc 
không là bình phương của một số nguyên thì nên giải theo cách 1 gọn hơn so 
với cách 2.
Ví dụ 4: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: x3 - 7x - 6
Ta có thể tách như sau:
Cách 1: x3 - 7x - 6 = x3 - x - 6x - 6 = x (x2 - 1) - 6 (x + 1)
= x (x - 1)(x + 1) - 6(x + 1) = (x + 1)(x2 - x - 6)
= (x + 1)(x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1)[x(x - 3) + 2(x - 3)]
= (x + 1)(x + 2)(x - 3)
Cách 2: x3 - 7x - 6 = x3 - 4x - 3x - 6 = x(x2 - 4) - 3(x + 2)
 = x (x - 2) (x + 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x2 - 2x - 3)
 = (x + 2)(x2 - 3x + x - 3) = (x + 2)(x - 3)(x + 1)
Cách 3: x3 - 7x - 6 = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3)(x2 + 3x + 9 - 7)
 = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3)(x2 + x + 2x + 2)
= (x - 3) (x + 2) (x + 1)
Cách 4: x3 - 7x - 6 = x3 + 1 - 7x - 7 = (x + 1)(x2 - x + 1) - 7(x + 1)
= (x + 1)(x2 - x + 1 - 7) = (x + 1)(x2 - x - 6)
= (x + 1)(x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1)(x + 2)(x - 3)
Cách 5: x3 - 7x - 6 = x3 + 8 - 7x - 14 = (x + 2)(x2 - 2x + 4 - 7)
= (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2)(x2 + x - 3x - 3)
= (x + 2)(x + 1)(x - 3)
Cách 6: x3 - 7x - 6 = x3 - 9x + 2x - 6 = x(x - 3)(x + 3) + 2(x - 3)
= (x - 3)(x2 + 3x + 2) = (x - 3)(x + 1)(x + 2).
Chú ý: Cần lưu ý học sinh khi phân tích đa thức này phải triệt để, tức là kết 
quả cuối cùng không thể phân tích được nữa. Tất nhiên yêu cầu trên chỉ có tính 
chất tương đối vì nó còn phụ thuộc tập hợp số mà ta đang xét. Nếu phân tích 
không triệt để học sinh có thể gặp tình huống là mỗi cách phân tích có thể có 
một kết quả khác nhau. Chẳng hạn ở bài tập trên cách 1, cách 4 có thể cho ta kết 
quả là: x3 - 7x - 6 = (x + 1) (x2 - x - 6).
Cách 2, cách 5 cho kết quả là: x3 - 7x - 6 = (x + 2)(x2 - 2x - 3) = (x4 + 1 + 8x2)2 - 16x2(x4 + 1 - 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 - 
1)2
 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 - 4x)2
= (x4 + 4x3 + 8x2 - 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
Như vây việc thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất 
thuận lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng 
thức nào? bình phương của một tổng hay hiệu hai bình phương,... thì mới phân 
tích triệt để được.
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức : x7 + x2 + 1 thành nhân tử:
Ta có: x7 + x2 + 1 = (x7 - x) + (x2 + x + 1 ) 
= x(x6 - 1) + (x2 + x + 1 )
 3 3 2
= x(x - 1)(x + 1) + (x + x + 1) 
= x(x - 1)(x2 + x + 1) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x - 1)(x3 + 1) + 1] 
= (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 - x + 1)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức : x7 + x5 + 1 thành nhân tử:
 7 5 7 5 2 2
Ta có: x + x + 1 = (x - x ) + (x - x ) + (x + x + 1)
 3 3 2 3 2
= x(x - 1)(x + 1) + x (x - 1) + (x + x + 1)
 2 4 2 2 2
= (x - 1)(x + x + 1)(x + x) + x (x - 1)(x + x + 1) + (x + x + 1)
 2 5 4 2 3 2
= (x + x + 1)[(x - x + x - x) + (x - x ) + 1] 
 2 5 4 3
= (x + x + 1)(x - x + x - x + 1).
III. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ (ĐẶT ẨN PHỤ)
Ví dụ 1: Phân tích đa thức D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử:
Ta có: D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất hiện nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x), ta có thể đặt : 
 2 2
y = x + x (đổi biến). Khi đó ta có: D1 = y + 4y - 12
Ta có thể dùng phương pháp tách hoặc thêm bớt hạng tử.
 2
D1 = (y - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y)
D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (Đặt nhân tử chung)
D1 = (y - 2)(y + 6) (Đặt nhân tử chung)
Hay D = (x2 + x - 2)(x2 + x + 6) = (x2+ x + 6)(x - 1)(x + 2). Ta có: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
= (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng:
(y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 144 + 128
 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4)
 = (x2 + 10x + 16 )(x2 + 10x + 8 )
 = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Giả sử x 0 ta viết:
 6 1 
x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 = x2( x2 + 6x + 7 - + )
 x x2
 1 1 
 = x2[(x2 + ) + 6(x - ) + 7]
 x2 x
 1 1 
Đặt x - = y thì x2 + = y2 + 2, do đó
 x x2
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
 1 
 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x - 1)2
 x
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách tách hạng tử và dùng hằng đẳng thức A 
= x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 
 = x4 + (6x3 - 2x2 ) + (9x2 - 6x + 1 )= x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 
1)2
IV. PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
- Cách tìm nghiệm của một đa thức
- Phương pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức: Nghiệm nguyên (nếu có) của 
một đa thức phải là ước của hạng tử tự do.
- Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức: Trong đa thức với hệ số 
nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p ; (p, q) = 1 trong đó p là ước 
 q
của hệ số tự do; q là ước dương của hệ số cao nhất.
- Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo hệ quả của định lý
Bê - du ta có: