Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh Lớp 9 trường THCS Mỹ Phước nắm vững tính chia hết trong tập hợp số nguyên

 MỤC LỤC 
LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................................1 
MỞ ĐẦU ..........................................................................................................................2 
 1. Lý do chọn đề tài. ..............................................................................................2 
 2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài..........................................................................2 
 3. Nhiệm vụ của đề tài. ..........................................................................................2 
 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài. ....................................................2 
 5. Phương pháp nghiên cứu của đề tài...................................................................2 
 6. Điểm mới của đề tài.. ........................................................................................3 
NỘI DUNG SÁNG KIẾN ..............................................................................................4 
 1. Tìm hiểu nguyên nhân học sinh học còn hạn chế kỹ năng giải dạng toán 
chia hết trong tập hợp số nguyên. .....................................................................................4 
 2. Biện pháp giúp học sinh lớp 9 nắm vững và thực hiện được dạng toán 
“Tính chia hết trong tập hợp số nguyên”. .........................................................................4 
 2.1. Định nghĩa của tính chia hết trong tập hợp số nguyên. ............................4 
 2.2. Tính chất của tính chia hết trong tập hợp số nguyên.. ..............................5 
 2.3. Một số dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên.. .........................................6 
 2.4. Ứng dụng hằng đẳng thức (A – B)n.. ........................................................6 
 2.5. Ứng dụng hằng đẳng thức An – Bn............................................................6 
 3. Một số phương pháp cơ bản chứng minh chia hết trong tập hợp số 
nguyên. .............................................................................................................................7 
 3.1. Phương pháp 1. .........................................................................................7 
 3.2. Phương pháp 2. .........................................................................................8 
 3.3. Phương pháp 3. .......................................................................................10 
 3.4. Phương pháp 4. .......................................................................................13 
 3.5. Phương pháp 5. .......................................................................................20 
KẾT QUẢ DO SÁNG KIẾN MANG LẠI ..................................................................24 
 1. Kết quả đạt được. .............................................................................................24 
 2. Phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến. ..................................................................25 
 3. Bài học kinh nghiệm. .......................................................................................25 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................................26 
 MỞ ĐẦU 
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 
 Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống con người, đối 
với các ngành khoa học và còn hỗ trợ một phần không nhỏ đối với các môn 
học khác. Bởi vì toán học có khả năng to lớn trong việc rèn luyện các thao 
tác tư duy sáng tạo, phát triển các năng lực trí tụê. 
 Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, với lượng kiến thức rất 
phong phú của toán học thì kỹ năng giải toán, kỹ năng tư duy sáng tạo của 
các em là rất cần thiết. Một phần nhỏ trong kho tàn kiến thức toán học là 
“Tính chia hết trong tập hợp số nguyên”, đây là dạng toán trong chương 
trình sách giáo khoa trung học cơ sở của Bộ giáo dục cũng chưa đề cặp đến 
mà lại rất thường gặp trong các đề thi chọn Học sinh giỏi vòng thị xã và 
vòng tỉnh. Vì thế tôi chọn đề tài này làm sáng kiến. 
2. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: 
 Làm thế nào để giúp các em học sinh lớp 9A3 trường THCS Mỹ 
Phước nói riêng cũng như tất cả các em học sinh trong đội tuyển bồi dưỡng 
học sinh giỏi ở tất cả các trường Trung học cơ sở nói chung làm tốt dạng 
toán “Tính chia hết trong tập hợp số nguyên” ? Đó chính là nỗi lo âu, trăn 
trở đã khiến tôi, người giáo viên đang giảng dạy môn toán phải không 
ngừng học hỏi, đúc kết kinh nhiệm để tìm ra những sáng kiến phù hợp nhất 
cho nội dung kiến thức này. 
3. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: 
 Nhiệm vụ của đề tài là tìm hiểu, nghiên cứu, cung cấp kiến thức và 
đưa ra những sáng kiến nhằm giúp học sinh thực hiện tốt các bài toán dạng 
“Tính chia hết trong tập hợp số nguyên”. 
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: 
 Năm học 2023 – 2024 tôi trực tiếp giảng dạy lớp 9A3 của trường 
THCS Mỹ Phước, thị xã Bến Cát, tỉnh Bình Dương. Tôi chọn lớp 9A3 làm 
đối tượng và phạm vi nghiên cứu. 
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: 
 Tôi kết hợp hầu hết các phương pháp nghiên cứu như: 
 - Tổng kết rút kinh nghiệm. 
 - Quan sát điều tra. 
 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 
1. TÌM HIỂU NGUYÊN NHÂN HỌC SINH CÒN HẠN CHẾ KỸ 
NĂNG GIẢI DẠNG TOÁN CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ 
NGUYÊN: 
 Do dạng toán “Tính chia hết trong tập hợp số nguyên” không có trong 
chương trình chính khóa Toán 9 của các em mà các em chỉ được làm quen 
với dạng toán này khi các em được tham gia vào lớp bồi dưỡng học sinh 
giỏi toán. Riêng các em lớp 9 ở trường tạo nguồn thì các em chỉ được làm 
quen trong vài tiết học toán tăng cường. Do dạng toán nêu trên còn mới 
chưa quen thuộc nên đa số học sinh lớp 9 rất ngại khi gặp dạng toán này. 
2. BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 9 NẮM VỮNG VÀ THỰC 
HIỆN ĐƯỢC DẠNG TOÁN “TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP 
SỐ NGUYÊN”: 
 Để nắm vững và thực hiện được các bài toán về tính chia hết trong tập 
hợp số nguyên, trước tiên các em cần phải hiểu rõ định nghĩa, tính chất của 
tính chia hết trong tập hợp số nguyên và một số dấu hiệu chia hết của các 
số tự nhiên như sau: 
 2.1. Định nghĩa của tính chia hết trong tập hợp số nguyên: 
 Với mọi số nguyên a và b (b 0) ta luôn tìm được hai số nguyên q 
và r duy nhất sao cho: a = b.q + r Với 0 r < b 
 Trong đó: 
 a là số bị chia 
 b là số chia 
 q là thương 
 r là số dư. 
 Khi a chia cho b, số dư có thể là: r {0; 1; 2; ; b – 1}. 
Đặc biệt: nếu r = 0 thì ta có a = b.q 
 Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. 
 (ta cũng có thể nói: a là bội của b hay b là ước của a) 
 Ký hiệu: a  b hay b \ a. 
Nếu r 0 thì ta có phép chia có dư. 
2.3. Một số dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên: 
 Gọi A = anan 1...a1a0 
 2.3.1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125. 
 + A  2 a0  2 a0 {0; 2; 4; 6; 8} 
 + A  5 a0  5 a0 {0; 5} 
 + A  4 (hoặc 25) a1a0  4 (hoặc 25) 
 + A  8 (hoặc 125) a2a1a0  8 (hoặc 125) 
 2.3.2. Dấu hiệu chia hết cho 3 hoặc 9. 
 A 3 (hoặc 9) a0 + a1 +  + an  3 (hoặc 9) 
 2.3.3. Dấu hiệu chia hết cho 11. 
 A  11 [(a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + )]  11 
2.4. Ứng dụng hằng đẳng thức (A – B)n 
 2.4.1. (A + B)n = A. M + Bn với mọi n là số tự nhiên 
 2.4.2. (A – B)n = A. M + Bn với n là số tự nhiên chẵn 
 2.4.3. (A – B)n = A. M – Bn với n là số tự nhiên lẻ 
2.5. Ứng dụng hằng đẳng thức An – Bn 
 2.5.1. An – Bn  (A – B) với mọi n là số tự nhiên, A B 
 2.5.2. An – Bn  (A + B) với n là số tự nhiên chẵn, A – B 
 2.5.3. An + Bn  (A + B) với n là số tự nhiên lẻ, A –B 
 = 7 (100 – 13b – 14c) + (b – c) (**) 
 Vì 7 (100 – 13b – 14c) 7 nên: 
 + Nếu b = c thì b – c = 0, khi đó từ (**) ta có abc 7 
 + Nếu 7 thì từ (**) ta lại có (b – c) 7 
 Từ (*) ta có bc < 7. Do đó suy ra b – c = 0 hay b = c. 
 Vậy 7 b = c (với điều kiện a + b + c = 7). 
 3.2. Phương pháp 2: Sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử và 
tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên: 
 Cách thực hiện: Để chứng minh biểu thức A(n) với n N hoặc n Z 
chia hết cho một số nguyên m ta thường phân tích A(n) thành nhân tử, 
trong đó có một nhân tử là m. Nếu m là hợp số thì ta phân tích m thành một 
tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết 
cho tất cả các số đó. 
 Bài tập 1: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên 
liên tiếp luôn chia hết cho 9. 
 Giải 
 Gọi ba số nguyên liên tiếp lần lượt là: n – 1, n, n+1 
 Ta có: A = (n – 1)3 + n3 + (n + 1)3 
 = n3 – 3n2 + 3n – 1 + n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 
 = 3n3 + 6n 
 = 3n (n2 + 2) 
 = 3n (n2 – 1 + 3) 
 = 3n (n2 – 1) + 9n 
 = 3n (n – 1)(n + 1) + 9n 
 Vì (n – 1)n(n + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp 
 nên (n – 1)n(n + 1) 3 
 3(n –1)n (n + 1) 9 
 mà 9n 9 
 Do đó A = 3n (n – 1)(n + 1) + 9n 9 
 Vậy tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9. 
 hay n(n + 1)(n – 1)(n + 2)(n – 2) 120 
 Vậy n5 – 5n3 + 4n 120. 
 d/ Ta có: n5 – n = n(n4 – 1) 
 = n(n2 – 1)(n2 + 1) 
 = n(n + 1)(n – 1)(n2 – 4 + 5) 
 = n(n + 1)(n – 1)(n2 – 4) + 5n(n + 1)(n – 1) 
 = n(n + 1)(n – 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n + 1)(n – 1) 
 Vì n(n + 1)(n – 1)(n – 2)(n + 2) là tích của năm số nguyên liên tiếp
 nên n(n + 1)(n – 1)(n – 2)(n + 2) 5 
 và n(n + 1)(n – 1)(n – 2)(n + 2) 2 
 và n(n + 1)(n – 1)(n – 2)(n + 2) 3 
 mà 2; 3; 5 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau 
 Do đó n(n + 1)(n – 1)(n – 2)(n + 2) (2 . 3 . 5) 
 hay n(n + 1)(n – 1)(n – 2)(n + 2) 30 (1) 
 Vì n(n + 1)(n – 1) tích của ba số nguyên liên tiếp 
 nên n(n + 1)(n – 1) 3! 
 hay n(n + 1)(n – 1) 6 
 5n(n + 1)(n – 1) 30 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra n(n + 1)(n – 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n + 1)(n – 1) 30 
 Vậy n5 – n 30. 
 3.3. Phương pháp 3: Sử dụng các hằng đẳng thức: 
 Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: 
 a/ 62n + 19n – 2n+1 chia hết cho 17; 
 b/ 7 . 52n + 12 . 6n chia hết cho 19; 
 c/ 5n+2 + 26 . 5n + 82n+1 chia hết cho 59. 
 Giải 
 2n n n+1 n n n n 
 a/ Ta có: 6 + 19 – 2 = 36 – 19 + 2 . 19 – 2 . 2 
 n n n n 
 = (36 – 19 ) + 2(19 – 2 ) 
 a/ Ta có: 3327 + 2733 = 1127 . 327 + 333 . 933 
 = 1127 . 325 . 9 + 333 . 932 . 9 
 = 9 (1127 . 325 + 333 . 932) 9 
 Ta cũng có: 3327 + 2733 = (3327 – 1) + (2733 + 1) 
 mà 3327 – 1 = (33 – 1)(3326 + 3325 +  + 33 + 1) 
 = 32(3326 + 3325 +  + 33 + 1) 4 
 và 2733 + 1 = (27 + 1)(2732 – 2731 +  – 27 + 1) 
 = 28(2732 – 2731 +  – 27 + 1) 4 
 nên 3327 + 2733 4 
 mà 4 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau 
 Do đó 3327 + 2733 (4 . 9) 
 Vậy 3327 + 2733 36. 
 b/ Ta có: (304)1975 . 151870 . 4935 – (75)1954 = 307900 . 151870 . 21870 – 79770 
 = 307900 . 301870 – 79770 
 = 309770 – 79770 
 mà 309770 – 79770 (30 – 7) 
 hay 309770 – 79770 23 
 Vậy (304)1975 . 151870 . 4935 – (75)1954 23. 
c/ Ta có: 22225555 + 55552222 = (7 . 317 + 3)5555 + (7 . 93 + 4)2222 
 = 7. M + 35555 + 7 . N + 42222 
 = 7(M + N) + 35555 + 42222 
 = 7(M + N) + (35)1111 + (42)1111 
 Vì (35)1111 + (42)1111 (35 + 42) = 259 = 7 . 37 
 nên (35)1111 + (42)1111 7 
 mà 7(M + N) 7 
 Vậy 22225555 + 55552222 7.