Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh Lớp 9 rèn kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

 1 
1. PHẦN MỞ ĐẦU 
 1.1. Lý do chọn đề tài 
 Trong chương trình môn toán nói chung và môn toán ở bậc trung học cơ 
sở nói riêng, kiến thức về bất đẳng thức đóng một vai trò rất quan trọng. Một 
trong những ứng dụng nổi bậc nhất của bất đẳng thức đó là dạng toán về tìm 
giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức. 
 Dạng toán về cực trị (tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất) là một đề tài 
lí thú của Đại số, đã lôi cuốn nhiều người. Mỗi bài toán, với điều kiện riêng 
của nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có tác dụng rèn luyện tư 
duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế mà các bài toán về 
tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số thường có mặt trong 
các bài kiểm tra cuối kỳ, các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, thi học sinh giỏi về 
môn toán ở lớp 9. 
 Qua nhiều năm giảng dạy môn toán ở khối lớp 9 và bồi dưỡng đội 
tuyển học sinh giỏi môn toán 9 tại trường THCS An Hải, tôi nhận thấy rằng 
học sinh rất ngại làm các dạng bài tập về bất đẳng thức, đặc biệt là dạng bài 
toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức. Nguyên nhân là do 
các em chưa nắm vững kiến thức, phương pháp giải về cách tìm giá trị nhỏ 
nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức. Bên cạnh đó các chuyên đề, giải pháp đưa 
ra nhằm giúp các em làm các dạng bài tập về bất đẳng thức nói chung và tìm 
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nói riêng vẫn chưa đạt được một 
cách hiệu quả cao. 
 Xuất phát từ những lí do trên, tôi quyết định chọn làm sáng kiến 
“ Giúp học sinh lớp 9 rèn kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 
biểu thức ” nhằm với mục đích giúp các em có được phương pháp đúng đắn 
khi giải dạng toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức, đồng 
thời cũng giúp các em học sinh lớp 9 trên địa bàn tỉnh có thêm tài liệu để ôn 
luyện thi vào 10, cũng như tham gia các kỳ thi học sinh giỏi các cấp đạt kết 
quả cao hơn. 
 1.2. Mục đích, nhiệm vụ của sáng kiến. 
 3 
 2.1.Thời gian thực hiện: Sáng kiến được thực hiện trong năm học 2022-
2023 là từ tháng 10 năm 2022 đến tháng 02 năm 2023 và tiếp tục áp dụng cho 
những năm học tiếp theo. 
 2.2. Đánh giá thực trạng của sáng kiến khi áp dụng vào thực tế. 
 2.2.1. Kết quả đạt được: 
 Khi chưa áp dụng sáng kiến này vào công tác giảng dạy, tôi đã thực hiện 
việc khảo sát môn toán ở một số lớp của khối lớp 9 và đội tuyển học sinh giỏi 
tại trường THCS An Hải trong đầu học kì I của năm học 2022 – 2023 về bài 
toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức. Kết quả khảo sát như 
sau: 
 Kết quả khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến 
 Học sinh Tổng Giỏi Khá TB Yếu 
 số HS 
 SL % SL % SL % SL % 
 9A 32 3 9,4 8 25 17 53,1 4 12,5 
 9B 29 2 6,9 7 24,1 16 55,2 4 13,8 
 Đội tuyển 
 8 3 37,5 5 62,5 0 0 0 0 
 HSG toán 9 
 Kết quả cho thấy số lượng học sinh chưa giải được chiếm tỉ lệ khá cao. 
Đa phần những em học sinh này đều không có phương pháp giải đúng đắn về 
các bài tập liên quan đến bất đẳng thức, đặc biệt là dạng toán về tìm giá trị 
nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức. 
 Sau khi áp dụng sáng kiến vào công tác giảng dạy tại đơn vị, tôi nhận 
thấy rằng học sinh tiếp nhận kiến thức về dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, 
giá trị lớn nhất của biểu thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Các em 
đã nhận dạng được các bài toán liên quan đến tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 
nhất của biểu thức một cách nhanh chóng, từ đó đã giải được hầu hết các dạng 
bài tập liên quan đến tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức ở bậc 
trung học cơ sở, xóa đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu không có phương 
pháp giải cụ thể. Để biết được hiệu quả áp dụng tại đơn vị, tôi đã tiến hành 
khảo sát và thu được kết quả sau: 
 5 
 + Giáo viên và học sinh đã xác định đúng mục tiêu, tạo động cơ, hứng 
thú say mê, yêu thích dạy học bộ môn toán. 
 - Nguyên nhân hạn chế của sáng kiến. 
 + Học sinh phần lớn là do chưa nắm vững kiến thức cơ bản về bất đẳng 
thức ở các lớp dưới. 
 + Các em chưa quen với phương pháp học mới. 
 + Sự phát triển, bùng nổ của công nghệ thông tin với internet, điện 
thoại thông minh, với dịch vụ vui chơi, giải trí hấp dẫn đã lôi cuốn các em, 
làm các em sao lãng việc học. 
3. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 
 3.1. Căn cứ thực hiện: 
 7 
 - Nội dung: Để rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị 
lớn nhất của biểu thức một cách thành thạo trong thực hành giải toán, giáo 
viên đã ôn tập, rèn luyện cho học sinh các kiến thức của bất đẳng thức sau: 
 + Tính đảo chiều. Với a, b R, nếu a > b thì b < a. 
 + Tính chất bắc cầu. Với a, b, c R nếu a > b và b > c thì a > c. 
 + Tính chất liên quan đến phép cộng và trừ: 
 Với a, b, c R nếu a < b thì a c < b c. 
 + Tính chất liên quan đến phép nhân và chia. Với a, b, c R. 
 ab
 Nếu c > 0 và a > b thì a.c > b.c và . 
 cc
 ab
 Nếu c b thì a.c < b.c và . 
 cc
 + Tính chất nhân hai bất đẳng thức với nhau: Với a, b, c, d R. 
 Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì a.c > b.d. 
 Nếu a > b > 0 và c < d < 0 thì a.c < b.d. 
 + Tính chất nghịch đảo của bất đẳng thức: Với a, b R. 
 11
 Nếu a b và a.b > 0 thì . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 
 ab
 11
 Nếu a b và a.b < 0 thì . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 
 ab
 + Tính chất liên quan đến giá trị tuyệt đối. 
 Với a, b R, thì a+ b a + b . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab 0 . 
 Với a R, thì −aaa . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0. 
 Với a R, thì a 0. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0. 
 Với a R, thì aa . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 0. 
 Với a R, thì aa − . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 0. 
 + Tính chất liên quan đến lũy thừa. 
 Với a R, thì a2n 0 (n N *). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0. 
 + Bất đẳng thức Cauchy với 2 số thực không âm. 
 ab+
 Với a, b 0, thì ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 
 2
 9 
 Dạng 1. Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 A = f()() x g x hoặc A =  f()() x22  g x  
a/ Phương pháp giải 
- Khi biểu thức chỉ có 2 giá trị tuyệt đối, ta thường dùng kiến thức sau để giải. 
 +) ABAB+ + . Khi đó GTNN( AB+ ) = AB+ khi và chỉ khi A.B 0. 
 +) ABAB− − . Khi đó GTLN( AB− ) = AB− khi và chỉ khi B(A – B) 0. 
- Khi biểu thức nhiều hơn 2 giá trị tuyệt đối, ta thường dùng kiến thức sau : 
 A 0
 +) ABAB+ + . Khi đó GTNN( AB+ ) = AB+ khi và chỉ khi . 
 B 0
- Trong quá trình biến đổi, để triệt tiêu biến thì ta cần linh động thay đổi dấu 
của biểu thức trong giá trị tuyệt đối. Lưu ý : ABBA−=−. 
b/ Các ví dụ 
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau. 
 a/ A = xx−96 + + ; b/ B = x+5 + x + 2 + x − 7 + x − 8 
 Hướng dẫn 
a/ Ta có A = xx−96 + + = 96−xx + + 9 −xx + + 6 = 15 
Khi đó: A = 15 khi và chỉ khi (9 – x)(x + 6) 0 −69 x . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 15, đạt được khi −69 x . 
b/ B = x+5 + x + 2 + x − 7 + x − 8 
 = x+5 + x + 2 + 7 − x + 8 − x x + 5 + x + 2 + 7 – x + 8 – x = 22 
 x + 50 x −5
 x + 20 x −2
Khi đó B = 22 khi và chỉ khi - 2 x 7 
 70− x x 7
 80− x x 8
Vậy GTNN B = 22 khi - 2 x 7. 
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau. 
 M = x+325 + x − + x − 
 Hướng dẫn 
Bài toán này có số lẻ các giá trị tuyệt đối, nên ta xét các trường hợp sau. 
 11 
 t − 10 t − 10
 (t – 1)(3 – t) 0 hoặc 1 t 3 
 30− t 30− t
Với 1 khi đó 1 x −23 1 x −29 3 x 11 
Vậy GTNN A = 2, đạt được khi 3 . 
b/ Đặt t = x −1 ( t 0) thì x = t2 +1, khi đó 
 B = t2+1 − 2 t + 5 t 2 + 4 − 4 t + t 2 + 9 − 6 t 
 = (t− 1)2 + 5 ( t − 2) 2 + ( t − 3) 2 =t −1 + 5 t − 2 + 3 − t 
 tt−13 + − tt −13 + − = 2 (vì 5 t − 20 ) 
 t − 10 t 1
Khi đó, B = 2 khi và chỉ khi t −=20 t = 2 t = 2 
 30− t t 3
Với t = 2 khi đó = 2 x – 1 = 4 x = 5 
Vậy GTNN B = 2, đạt được khi x = 5. 
Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau. 
 M = x−4 + 2 x − 5 − x − 1 − 4 x − 5 với x 5. 
 Hướng dẫn 
Đặt t = x − 5 ( t 0 ) thì x = t 2 + 5 
Khi đó, M = t22+1 + 2 t − t + 4 − 4 t = (tt+ 1)22 − ( − 2) 
 = t+1 − t − 2 t + 1 − t + 2 = 3 
Khi đó M = 3 khi và chỉ khi (t – 2)( t + 1 – t + 2) 0 t 2 
Với t 2 khi đó 2 x – 5 4 x 9 
Vậy GTLN M = 3, đạt được khi x 9. 
c. Bài tập tương tự 
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau 
 a/ A = xx+32 + − ; b/ B = x−2 + x − 3 + x − 4 + x − 5 + x − 6 
 Đáp án : a/ GTNN A = 5, khi – 3 x 2. b/ GTNN B = 6, khi x = 4. 
 13 
 2 1
Vậy GTLN B = − , đạt được khi x = . 
 3 3
 2 2
 2 bc b b− 4 ac
c/ Vì a 0 nên f(x) = a xx++ = ax +− 
 aa 24aa
 2
 b 2
 = ax +− , với =b − 4 ac 
 24aa
 − −b
- Nếu a > 0 thì GTNN f(x) = , đạt được tại x = . 
 4a 2a
 − 
- Nếu a < 0 thì GTLN f(x) = , đạt được tại x = . 
 4a
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau. 
 a/ A = x4−4 x 3 + 9 x 2 − 20 x + 19 ; b/ B = −x42 +16 x + 12 x − 93. 
 Hướng dẫn 
a/ Ta có A = = (x4− 4 x 3 + 4 x 2 ) + 5( x 2 − 4 x + 4) − 1 
 = x2( x− 2) 2 + 5( x − 2) 2 − 1 − 1 
 Khi đó A = -1 khi và chỉ khi x – 2 = 0  x = 2. 
Vậy GTNN A = - 1, đạt được khi x = 2. 
b/ Ta có B = = −(x4 −18 x 2 + 81) − 2( x 2 − 6 x + 9) + 6 
 2 2
 = −(xx2 −9) − 2( − 3) + 6 6 
Khi đó B = 6 khi và chỉ khi x2 −=90 và x – 3 = 0 =x 3. 
Vậy GTLN B = 6, đạt được khi x = 3. 
Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau : 
 a/ A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 13 ; 
 b/ f(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m. 
 (với a, b, c, d, m là các số cho trước và a + d = b + c) 
 Hướng dẫn 
a/ Ta có A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 
 = x( x+3) ( x + 1)( x + 2) + 
 15 
Vậy GTNN A = 2024, đạt được khi x = 2 và y = -4. 
b/ Ta có : 
 22
 22
 2 2 cd cd
f(x, y) = ax + by + cx + dy + e = a x+ + b y + + e – − . 
 22ab 44ab
 −c −d
- Nếu a, b > 0 thì có GTNN f(x, y) = e – khi x = , y = . 
 2a 2b
- Nếu a, b < 0 thì có GTLN f(x, y) = e – khi x = , y = . 
Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau : 
 a/ A = 2x22+ y − 2 xy − 2 x − 2 y + 12 ; 
 b/ f(x, y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + h 
 (với a, b, c, d, e, h là những số cho trước và a(4ac −b2 ) > 0 ) 
 Hướng dẫn 
a/ Ta có A = 
 = (x− y )22 + 2( x − y ) + 1 + ( x − 2) + 7= (x− y + 1)22 + ( x − 2) + 7 7 
Khi đó A = 7 khi và chỉ khi x – y + 1 = 0 và x – 2 = 0  x = 2 và y = 3 
Vậy GTNN A = 7, đạt được khi x = 2 và y = 3. 
b/ Vì a(4ac – b2) > 0 nên a 0. Khi đó ta có : 
4a.f(x, y) = 4a2 x 2+ 4 ax ( by + d ) + 4 acy 2 + 4 aey + 4 ah 
 = 4a2 x 2+ 4( ax by + d )( + by + d )( 2 − by + d )4 2 + acy 2 + 44 aey + ah 
 2
 2ac−− bd (2 ae bd )2
 = (2ax by d )2 (4 ac b 2 ) y 4 ah d 2 
 + + + − +22 + − −
 44ac−− b ac b
 d22(2 ae− bd )
- Nếu a > 0 và 4ac – b2 > 0 thì f(x, y) h −− . 
 4a 4 a (4 ac− b2 )
 bc− cd
 20ax+ by + d = x =
 4ac− b2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2ac− bd 
 y 2ac− bd
 +=2 0
 4ac− b y =−
 4ac− b2