Sáng kiến kinh nghiệm Giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét

 2 
 BÁO CÁO SÁNG KIẾN 
I) ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN 
Toán học là môn khoa học tự nhiên tạo nhiều hứng thú cho học sinh, nó là môn học rất 
quan trọng không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả cuộc sống hàng 
ngày. Một nhà toán học nổi tiếng đã nói: “Toán học được xem là một khoa học chứng 
minh”; 
Nhưng đó chỉ là một khía cạnh, toán học phải được trình bày dưới hình thức hoàn 
chỉnh. Muốn vậy người học phải nắm vững các kiến thức toáan học từ thấp đến cao, 
phải học toán thường xuyên liên tục, biết quan sát, dự đoán phối hợp và sáng tạo, phải 
tự lực tiếp thu kiến thức qua hoạt động đích thực của bản thân; 
Ngày nay học sinh luôn được tiếp cận với nhiều kiến thức khoa học tiên tiến, với nhiều 
môn học mới lại đầy hấp dẫn nhằm hoàn thiện và bắt kịp công cuộc đổi mới, phát triển 
toàn diện của đất nước. Trong các môn học ở trường phổ thông, toán học được xem là 
môn học cơ bản, là nền tảng để các em phát huy năng lực của bản thân trong việc tiếp 
thu và học tập các môn khoa học khác. Tuy nhiên để học sinh học tập tốt môn toán thì 
giáo viên phải cung cấp đầy đủ lượng kiến thức cần thiết, cần đổi mới các phương 
pháp dạy học, làm cho các em trở nên yêu thích toán học hơn, vì thế là những giáo 
viên dạy Toán ở trường THCS chúng tôi luôn suy nghĩ làm sao để truyền đạt kiến thức 
đến các em một cách đơn giản, dễ hiểu mà các em có thể lĩnh hội kiến thức cơ bản một 
cách vững trắc và dễ dàng, tạo điều kiện cho các em yêu thích môn Toán, tránh cho 
các em có suy nghĩ môn toán là khó và khô khan; 
Là những giáo viên dạy Toán lớp 9, đã nhiều năm được nhà trường phân công ôn tập 
cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, chúng tôi đều thực hiện ôn tập 
cho học sinh theo chủ đề kiến thức. Khi dạy về hệ thức Vi-ét chúng tôi thấy nếu chỉ 
dạy theo thứ tự lí thuyết và bài tập như ở SGK, SBT thì chưa cung cấp đủ phương tiện, 
kiến thức cho học sinh để giải các bài tập thuộc chủ đề này. Quan trọng hơn việc nhớ 
kiến thức của các em sẽ không có hệ thống. Như vậy kết quả bài làm của các em 
không cao, bên cạnh đó hầu hết đề thi vào trường THPT đều có một phần kiến thức về 
hệ thức Vi-ét. Chính vì thế, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu SGK, SBT, các tài liệu 
BDTX toán lớp 9 và các tài liệu tham khảo để tập hợp các bài tập về hệ thức Vi-ét. 
Sau đó đã tiến hành phân dạng và với từng dạng đều chỉ rõ ứng dụng của nó. 4 
học, giảm áp lực trong học tập của các em. Sáng kiến được áp dụng cho năm học 2022 
– 2023. 
- Phạm vi thời gian: 
+ Không gian: Lớp 9A, 9B trường THCS Thị Trấn Gôi – Vụ Bản – Nam Định; 
+ Thời gian thực hiện: Từ 01 tháng 3 năm học 2022 đến 14 tháng 4 năm 2023. 
- Đối tượng nghiên cứu: 
Để áp dụng sáng kiến này giáo viên cần tích cực nghiên cứu các tài liệu liên quan, nắm 
chắc phương pháp giải của từng dạng toán trong sáng kiến. Học sinh có đầy đủ SGK, 
SBT và nắm vững định lí Vi-ét; 
Chúng tôi đã áp dụng sáng kiến này từ tháng 3 năm 2023 vào việc dạy và ôn tập cho 
học sinh lớp 9A, 9B THCS Thị Trấn Gôi – Vụ Bản – Nam Định để làm bài kiểm tra, 
bài khảo sát cuối năm và thi vào THPT năm học 2022-2023. 
2.2) Mục đích của sáng kiến 
Nhằm giải đáp những vướng mắc khi giải “Giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-
ét” cho học sinh một cách lô gíc và có khoa học. 
2.3) Phương pháp nghiên cứu 
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu để làm cơ sở lí luận; 
- Phương pháp phân tích: Thông qua dự giờ, đàm thoại với đồng nghiệp chủ nhiệm cùả 
khối 9 để tìm hiểu phương pháp lựa chọn, bồi dưỡng đội ngũ cán bộ lớp với kinh 
nghiệm của bản thân để đưa ra phương pháp thích hợp; 
- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi; 
- Phương pháp kiểm tra: Kiểm tra chất lượng hoạt động học của học sinh, lập bảng 
thống kê so sánh, đối chiếu kết quả hoạt động học của học sinnh khi chưa áp dụng và 
đang áp dụng đề tài. Từ đó kiểm nghiệm lại mức độ thành công của đề tài; 
- Nghiên cứu hoàn cảnh, môi trường, điều kiện học tập của học sinh; 
- Phương pháp đối chiếu, thống kê, so sánh. 
2.4) Nội dung nghiên cứu 
a) Thực trạng của nội dung nghiên cứu 
*) Cơ sở lý luận 
Như đã nói ở trên, loại toán có vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải là một bài toán khó và 
có nhiều dạng toán. Để làm tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh cần: 
 - Xác định đúng các hệ số a, b (hoặc b’), c; 6 
Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình bậc hai thì có 
thể suy ra nghiệm kia. 
 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a0 ) có a + b + c = 0 thì phương trình có một 
 c
nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = 
 a
 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( ) có a - b + c = 0 thì phương trình có một 
nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - 
- Định lí Vi-ét (đảo) 
 u v S
Nếu hai số u, v thỏa mãn thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình 
 u.v P
x2 – Sx + P = 0. (Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P 0) 
*) Các dạng toán và phương pháp giải. 
Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn 
+) Phương pháp: Trước khi áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem 
phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm hay không (Tức là kiểm tra 
 a 0, 0 ' 0 có thỏa mãn không) 
+) Ví dụ 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình: 
a) 2x2 - 17x + 1 = 0 
b) 25x2 + 10x + 1 = 0 
Giải 
a) 2x2 - 17x + 1 = 0 (a = 2 0, b = -17, c = 1) 
 2
Ta có: 17 4.2.1 281 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. 
 b 17 c 1
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x x , x .x . 
 1 2a 2 1 2 a 2
b) 25x2 + 10x + 1 = 0 (a = 25 0, b = 2b’ = 10, c = 1) 
 2
Ta có: ' 5 25.1 0 Phương trình có hai nghiệm x1, x2. 
 b 10 2 c 1
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x x , x .x . 
 1 2a 25 5 1 2 a 25
+) Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các 
nghiệm theo m: x2 + 2 m1 x + m2 = 0 
Giải: x2 + 2 x + m2 = 0 (a = 1 0, b’ = m-1, c = m2). 8 
- Nếu không tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = -b thì dừng lại và 
trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm. 
 +) Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phươnga0 trình sau: 
a) 35x2 - 37x + 2 = 0; 
b) x2 - 49x - 50 = 0; 
c) x2 + 6x + 8 = 0. 
Giải 
a) 35x2 - 37x + 2 = 0 
Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0. Do đó phương trình có một 
 c2
nghiệm là x1 = 1, x2 = 
 a 35
b) x2 - 49x - 50 = 0 
Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0. Do đó phương trình có một 
 c 50 
nghiệm là x1 = - 1, x2 = - 50. 
 a1
c) x2 + 6x + 8 = 0 
 2
Ta thấy ' 3 1.8 1 0. Do đó phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn 
 x1 x 2 6 x 1 x 2 ( 2) ( 4)
 x1. x 2 8 x 1 . x 2 ( 2).( 4)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4. 
Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ẩn 
cho biết trước một nghiệm. 
+) Phương pháp:Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 ( ) cho biết một nghiệm 
x1 = m.Tìm nghiệm còn lại x2? 
 b
Ta làm như sau: Dùng hệ thức Vi-ét xx12 = . Thay x1 = m vào hệ thức, ta có 
 a
 bb c
 x x m hoặc ta dùng hệ thức x .x . Thay x1 = m 
 21aa 12 a
 cc 
vào hệ thức, ta có x21 : x : m . 
 aa 
+) Ví dụ: 
a) Chứng tỏ rằng phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0 (1) có một nghiệm là -3. Hãy tìm 
nghiệm kia. 10 
Giải 
Ta có u + v = 32, u.v = 231 
Do đó u và v là nghiệm của phương trình:a0 x2 - 32x + 231 = 0 
 2
 32 4.231 100 0 100 10 
 32 10 32 10
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 21; x 11 
 1222
Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21 
Dạng toán 5: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải 
phương trình. 
+) Phương pháp: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình 
 2
 ax + bx + c = 0 ( ) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị (đổi chỗ) 
x1 và x2. Ta thực hiện theo các bước: 
 2
- Bước 1: Xét biệt thức b 4ac 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, 
x2 (hoặc '0); 
- Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vào biểu thức. 
Chú ý: Một số phép biến đổi: 
 2 22 2
 (1).x1 x 2 x 1 x 2 2xx 1 2 S 2P;
 3 33 3
 (2). x1 x 2 x 1 x 2 3x 1 x 2 x 1 x 2 S 3SP;
 4 4 22 2 2 2 2 22 2 2 2
 (3).x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2xx 1 2 S2P 2P;
 1 1 x x S
 (4). 12 ;
 x1 x 2 x 1 x 2 P
 1 1 x2 x 2 S 2 2P
 (5). 12 .
 x2 x 22 P 2
 12 xx12 
+) Ví dụ . Cho phương trình x2 – 6x + 8 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị 
các biểu thức: 
 22
a) A = xx12 ; 
 11
b) B = ; 
 xx12
 22
c) C= xx12 
Giải 12 
Giải 
 2
Phương trình mx – (2m + 3)x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
 m0 
 m 0 m0 m 0 . 
 2 9
 0 2m 3 4m m 4 0 28m 9 0 m 
 28
 2m 3 3 12
 S x x 2 4S 8 (1)
Áp dụng hệ thức Vi-ét: 12 m m m 
 m 4 4 12
 P x x 1 3P 3 (2)
 12 m m m
Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc 
vào m). 
Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để 
khử m. Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức Vi-ét mà quên mất 
bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2. 
Dạng toán 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn một 
điều kiện cho trước. 
+) Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau: 
- Bước 1: Tìm điều kiện của tham số (giả sử tham số là m) để phương trình có nghiệm 
x1, x2 (tức là cho 0 hoặc '0). 
 x12 x S f (m )
- Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: (I) . 
 x12 x P g(m )
- Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m. 
- Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời. 
+) Ví dụ 1. Cho phương trình: 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0. 
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. 
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các 
bình phương hai nghiệm của phương trình theo m. 
Giải 
a) Phương trình có nghiệm ' 0 m 1 2 7m2 0 (đúng với mọi m). 
Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm 
b) Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình 
 2 1 m 
 x12 x S 
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 7 
 (I)
 m2
 x x P
 12 7 14 
 x12 x 2(m 1) 2m 2 (1)
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 x12 x 2m 4 (2)
 22 2
Theo bài: y = xx12 = x1 x 2 2x 1 xa0 2 (3) 
Thay (1) và (2) vào (3), ta có: 
y = 2m 2 22 2 2m 4 4m2 12m 12 2m 3 3. 
 2
Vì 2m 3 2 0 với mọi m nên suy ra y = 2m 3 3 3 
 3 3
 Dấu “=” xảy ra 2m 3 0 m . Vậy ymin = 3 m 
 2 2
Dạng toán 8: Xét dấu các nghiệm 
+) Phương pháp: Dùng hệ thức Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm x1, x2 của phương 
trình ax2 + bx + c = 0 ( ) dựa trên kết quả: 
- Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c<0 
 0 ' 0 
- Phương trình có hai nghiệm cùng dấu 
 P0 
 0 ' 0 
- Phương trình có hai nghiệm dương 
 P0 
 S0 
 0 ' 0 
- Phương trình có hai nghiệm âm P0 
 S0 
 +) Ví dụ 1. Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + 1 = 0. Xác định m để phương 
trình: 
a) Có hai nghiệm trái dấu 
b) Có hai nghiệm dương phân biệt 
Giải 
 c
a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu P 1 m 0 m 1 
 a
Vậy với m < 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu 
b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0 x12 x