Sáng kiến kinh nghiệm Dãy số với số học

tuyển quốc gia hiệu quả hơn. 
 6. Mục đích của giải pháp sáng kiến 
Nhằm giúp học sinh chuyên Toán nắm bắt và giải quyết tốt những bài toán về dãy số liên 
quan đến số học, dựa trên một hệ thống kiến thức liên quan chặt chẽ với nhau, hạn chế việc 
làm bài nào biết bài đó, mà không nhìn ra được sợi dây liên kết của chúng. 
 Sáng kiến mong muốn Cung cấp một bộ tài liệu chuẩn cho học sinh tự học, ôn thi 
học sinh giỏi, ôn thi học sinh giỏi về phần tính chất số học của dãy số. 
 Hơn nữa, Cung cấp cho giáo viên có một tài liệu tham khảo, đầy đủ sâu hơn về phần 
tính chất số học của dãy số, cũng như một mảng nhỏ trong phần số học. 
 7. Nội dung: 
 7.1. Thuyết minh giải pháp mới hoặc cải tiến 
 7.1.1 Giải pháp 1. 
 7.1.1.1 Tên giải pháp: Mối quan hệ giữa dãy số nguyên và phương trình nghiệm 
nguyên 
 7.1.1.2 Nội dung 
 Hai mảng dãy số nguyên và phương trình nghiệm nguyên, tưởng chừng như là hai 
mảng của hai lĩnh vực khác nhau, không phải là nội dung mới, đã có rất nhiều tài liệu viết 
về chúng. Tuy nhiên, hai nội dung này được thể hiện rời rạc, chưa có một sự liên kết chặt 
chẽ, đi sâu vào vấn đề để hiểu bản chất, hướng xây dựng bài toán cũng như hướng tìm ra 
lời giải. Do đó, nội dung phần này nhằm khám phá, nghiên cứu sâu mối quan hệ giữa hai 
nội dung này, giúp giáo viên có thể sáng tạo, xây dựng nhiều bài toán dãy số hay số học 
liên quan, học sinh chuyên Toán nhanh chóng giải quyết được bài toán ở dạng này. 
Chương II. MỐI QUAN HỆ GIỮA DÃY SỐ NGUYÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH 
NGHIỆM NGUYÊN 
II.1. SỬ DỤNG DÃY SỐ ĐỂ XÂY DỰNG NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG 
TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
 Dãy số có thể dùng để mô tả nghiệm cho phương trình nghiệm nguyên. Hơn nữa, 
nhiều bài toán không yêu cầu tìm tất cả các nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, mà 
chỉ yêu cầu chứng minh phương trình có vô số nghiệm. Trong trường hợp như thế, ta có 
thể dùng dãy số để xây dựng một họ nghiệm thỏa mãn phương trình. Dưới đây, ta xét một 
số dạng phương trình nghiệm nguyên mà nghiệm của nó được xây dựng bởi dãy số. 
2.1.1. Sử dụng dãy số để xây dựng nghiệm của một số phương trình đối xứng bậc hai. 
 uu01 ;
Xét dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai (un) (*) 
 un 11 au n u n b,  n 1,2,3,...
 u u b
 Ta có: nn 11 an,  1,2,... 
 un
 Suy ra 
Phương trình này có dạng (**), trong đó a = 3, b = 3. 
Khi đó: 22  3  3(  ) 7 , chọn  1; 1 thỏa mãn. 
Ta xây dựng dãy số (un ) : u0 1, u 1 1, u n 1 3 u n u n 1 3 . 
 Mỗi cặp (,)uunn 1 là một nghiệm của (2). 
Dễ thấy, un là số nguyên dương với mọi n; uu21 5 . 
Bằng qui nạp ta chứng minh được ( un ) là dãy số tăng nghiêm ngặt. 
Từ đó suy ra phương trình có vô số nghiệm nguyên dương. 
 Như vậy, từ những biểu thức bậc hai, đối xứng giữa hai biến x, y ta có thể xây dựng 
nên những bài tập mà phương trình của nó có thể đưa về dạng (**). Sau đây, ta xét những 
phương trình nghiệm nguyên bậc 2 có nhiều hơn hai ẩn mà vẫn đưa được về dạng (**). 
Bài 2.1.1.8. Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương 
 x2 y 2 z 2 t 2 4 xyzt .(8) 
Hướng dẫn: 
Chọn z = t = 1, ta có: x2 y 2 2 4 xy x 2 y 2 4 xy 2 . 
Xét dãy số xác định bởi : 
 (un ) : u0 1, u 1 1, u n 1 4 u n u n 1 . 
Khi đó, (x , y , z , t ) ( unn 1 , u ,1,1) là nghiệm của phương trình. 
Do uu21 3 , bằng qui nạp ta chứng minh được dãy ()un tăng nghiêm ngặt. 
Từ đó suy ra phương trình có vô số nghiệm nguyên dương. 
Bài 2.1.1.10. Cho số tự nhiên n > 2. Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên 
dương 
 2 2 2 2
 x1 x 2 x 3 ... xnn n . x 1 . x 2 ... x . (Phương trình Markov)(10) 
Hướng dẫn: 
Chọn x34 x ... xn 1 , ta có: 
 22
 x1 x 2 n 2 n . x 1 . x 2 . 
Xét dãy số xác định bởi: 
 (um ) : u0 1, u 1 1, u m 1 nu m u m 1 . 
Khi đó u21 n 1 u , bằng qui nạp ta chứng minh được dãy là dãy các số nguyên dương và 
tăng nghiêm ngặt. Vậy (x1 , x 2 , x 3 ,..., xn ) ( u m 1 , u m ,1,...,1) là nghiệm của (10). 
Từ đó suy ra phương trình (10) có vô số nghiệm nguyên dương. 
II.1.2. Sử dụng dãy số xây dựng nghiệm của phương trình Pell. 
Phương trình Pell là phương trình Diophantine có dạng 
 x22 dy 1, 
 trong đó d là một số nguyên dương không chính phương. 
 Để mô tả tập hợp nghiệm của phương trình Pell, trước hết ta chứng minh bổ đề sau. 
phải là một cặp xykk, với k nào đó.(Đpcm) 
Nhận xét: Ta có 
 1
 x [( x y d )kk ( x y d ) ]
 k k 1 1 1 1
 xkk y d () x11 y d 2
 k
 1 kk
 xkk y d () x11 y d 
 yk [( x1 y 1 d ) ( x 1 y 1 d ) ]
 2 d
Từ đó, ta có thể biểu diễn nghiệm của phương trình Pell dưới dạng dãy số như sau: 
 xn 2 2 x 1 . x n 1 x n , x 0 1, x 1 x 1
 . 
 yn 2 2 x 1 . y n 1 y n , y 0 0, y 1 y 1
Sau đây là một số bài tập áp dụng. 
Bài 2.1.2.1. Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình xy22 15 1. 
Hướng dẫn: 
Dễ thấy nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là x = 4, y = 1. Như vậy mọi 
nghiệm ( ) của phương trình được xây dựng bởi công thức: 
 xk 2 8 x k 1 x k , x 0 1, x 1 4
 . 
 yk 2 8 y k 1 y k , y 0 0, y 1 1
Từ quan hệ truy hồi này ta thiết lập được tất cả các nghiệm của phương trình. 
Bài 2.1.2.2. Tìm các số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình (x 1)3 x 3 y 2 . 
Hướng dẫn: 
Ta có: (x 1)3 x 3 y 2 3 x 2 3 x 1 y 2 . 
Nhân 4 vào hai vế của phương trình ta được: (2yx )22 3(2 1) 1. 
Đặt u = 2y, v = 2x +1, ta được phương trình Pell: uv22 31. 
 Nghiệm (,)uvnn của phương trình được cho bởi công thức: 
 n n
uvnn 3 (2 3) . Từ đó ta có uvnn 3 (2 3) . Mặt khác, chỉ có các nghiệm 
với un chẵn, vn lẻ là thích hợp với bài toán. Từ đó ta chọn được các nghiệm sau đây: 
 1
 x [(2+ 3)2kk 1 -(2- 3) 2 1 -2 3]
 43 . 
 1
 y [(2+ 3)2kk 1 + (2- 3) 2 1 ], k 1
 4
 mm( 1)
Bài 2.1.2.3 Tìm tất cả các số chính phương dạng , với m là số nguyên dương. 
 3
Hướng dẫn: 
 mm( 1)
Giả sử m, n là những số nguyên dương thỏa mãn n2 . 
 3
Khi đó ta có: (2mn 1)22 3(2 ) 1. 
Như vậy 2m+1 và 2n là các nghiệm của phương trình Pell: XY22 31. 
Dễ thấy phương trình có nghiệm nhỏ nhất X = 2, Y = 1. Do đó m, n xác định bởi: 
 (2mn 1) 2 3 (2 3)k . 
Ta có: 
 2 2 2 2 2 2
 xn 11 3 y n (2 x n 3 y n ) 3( x n 2 y n ) x n 3 y n ,  n 0,1,2,.... 
Vậy 
 2 2 2 2 2 2 2 2
 xn 3 y n x n 1 3 y n 1 x n 2 3 y n 2 ... x 0 3 y 0 4 . 
 22
Do đó (,)xynn là nghiệm của phương trình XY 34. 
Hơn nữa xn 12 x n  4 x n 1  x n 1 (mod3),  n . 
Suy ra: x2kk x 2 2 ...  x 2  x 0 (mod3),  k . Ta chọn: 
 x2k 2
 y 
 32yx 2k 3
 x 2 y 2 y 2( x 1)
 22kk xy 
 2k 3
 2(xx 1) 2
Như vậy, (,)(,)x y y 22kk là nghiệm của phương trình đã cho với mọi k=0, 
 2k 33
1, . 
II.2. Xây dựng bài toán về dãy số từ lời giải các phương trình nghiệm nguyên 
Theo phần trên, chúng ta thấy, một số phương trình nghiệm nguyên, đưa được về phương 
trình kiểu Pell, có tập nghiệm được biểu diễn thông qua dãy số. Vì vậy, từ các phương trình 
Diophant ta lại có thể tạo ra các bài toán về dãy số với các tính chất số học : dãy số nguyên, 
số chính phương, chia hết, đồng dư,, cũng như tìm lời giải cho các bài toán này. 
 Xét phương trình kiểu Pell 
 x22 Dy k. (1) 
 Với D là một số nguyên dương nhưng không phải là số chính phương, k là số nguyên 
 khác 0. 
 Giả sử phương trình có nghiệm không tầm thường (,)xy11và (,)  là nghiệm cơ sở của 
 phương trình x22 Dy 1. 
 Khi đó, tất cả các nghiệm của phương trình (1) là xynn, với dãy xynn , xác định 
 bởi 
 xn 11 x n  Dy n, y n  x n y n , n 1. 
 Từ hệ phương trình trên ta có thể tìm được: 
 22
 xn 11 x n  Dxky( n ); n y n  kDyn n , 1. 
 Như vậy đã xuất hiện hai dãy số nguyên được cho bởi một công thức không nguyên. 
 Cũng từ công thức nghiệm và phương trình trên, ta suy ra dãy số (yn) xác định 
 2
 y11 , yn  y n k Dy n , n 1. 
 2
 thì Dyn k luôn là số chính phương. 
 Ví dụ, với D 4 a ( a 1), k 1 thì ta có x00  2 a 1, y 1. Ta được hai dãy 
 số nguyên sau đây: 
 u11 2; un 2 u n 3 v n
 v11 1; vn u n 2 v n .
Nếu x-2y = un thì x =un +2vn =vn+1. 
Nếu x-2y = -un thì x =-un +2vn =vn-1. 
Vậy tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (vn ;vn+1) mọi n nguyên 
dương và (vn ;vn-1) với mọi n nguyên lớn hơn 1. 
Từ đó ta có hai bài toán sau : 
 Ví dụ 2.2.2.1. Cho dãy số (xn) xác định bởi x1 1; x 2 4; xn 2 4 x n 1 x n , n 1. 
 2 2
 Hai số nguyên a, b thỏa mãn a -4ab+b =1. 
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k để (a ;b) = (xk ; xk+1). 
 Ví dụ 2.2.2.1. Cho dãy số (xn) xác định bởi 
Chứng minh rằng 4xnxn+1+1 luôn là tổng của hai bình phương. 
Sau đây là một số bài toán về dãy số mà được xây dựng dựa trên ý tưởng trên. 
Bài 2.2.1. Cho dãy số (xn) xác định bởi x1 1; x 2 3; xn 2 4 x n 1 x n , n 1. 
Hai số nguyên a, b thỏa mãn a2-4ab+b2 = - 2. 
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k để (a ;b) = (xk ; xk+1). 
Bài 2.2.2. (VMO 1999) Cho hai dãy số (xn) ; (yn) xác định bởi 
 x0 1; x 1 4; xn 2 3 x n 1 x n , n 0.
 y0 1; x 1 2; yn 2 3 y n 1 y n , n 0.
 22
a) Chứng minh rằng xynn 5 4 0. 
 2 2
 b) Giả sử tồn tại các số nguyên dương a, b thỏa mãn a -5b +4=0, chứng minh tồn tại số 
tự nhiên k sao cho xk = a ; yk = b. 
Bài 2.2.3. (VMO 2012) Xét các số tự nhiên lẻ a, b mà a là ước số của b2 +2 và b là ước 
 2
số của a +2. Chứng minh rằng a và b là các số hạng của dãy số tự nhiên (xn) xác định bởi 
x1 1; x 2 1; xn 2 4 x n 1 x n , n 1. 
Bài 2.2.4. Cho dãy số un được xác định như sau: 
 u1 0
 2
 un 1 5 u n 24 u n 1; n 1, 2,...
Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số trên đều là số nguyên. 
Lời giải 
Từ giả thiết ta có: 
 2 2 2 22
 u2 1 và un 11 10 u n u n 25 u n 24 u n 1 hay un 11 10 u n u n u n 1 0. (1) 
 22
Thay n trong (1) bằng n-1 ta được : un 11 10 u n u n u n 1 0. (2) 
 22
Từ (1) và (2) suy ra uunn 11, là hai nghiệm của phương trình : t 10 unn t u 1 0. 
Theo định lí Viete ta có un 11 u n10 u n hay un 11 10 u n u n . 
số nguyên dương k sao cho {a,b}={uk-1, uk}. 
 c) 4unun-1 -2 luôn là tổng của hai bình phương. 
Lời giải 
Bằng quy nạp ta chứng minh rằng  n 3,4,... ta có : 
 un 4. u n 12 u n (1) 
Thật vậy, với n 3 ta có : 
 2 2
 u2 2 32 
 u3 11. 
 u1 1
Mặt khác 4u2 u 1 4.3 1 11 u 3 4 u 2 u 1 . Vậy (1) đúng với . 
Giả sử (1) đúng với nk 3, theo giả thiết quy nạp thì uk 4. u k 12 u k 
 2
 uk 2 22
Khi đó ta có : uk 1 4 u k u k 1 4 u k u k 1 u k 2 4 u k u k 1 u k 1 
 uk 1
 2 2
 4uk 1 u k 2 2 4 u k 1 4 u k 1 u k 2 u k 1
 22
 uk 2 4 u k 1 u k 2 2 u k 1 (*)
 2
 uk 1 24 u k 2 u k 1 u k 2 
 2
 uk 1 2
 4uukk 12 
 uk 2
 uk 4. u k 12 u k
Vậy (1) với nk 1. 
Vì uu12 1, nên từ (1) suy ra unn ,  1, 2,... 
Từ phương trình (*) ta dễ dàng suy ra b), c). 
Bài 2.2.7. Cho a, b, c là ba số nguyên thỏa mãn điều kiện ab2 1. Xét dãy số được 
xác định như sau: 
 u0 0
 22
 un 1 au n bu n c; n 0, 1, 2,...
 un 
Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số trên đều là số nguyên. 
Lời giải 
 22
Theo giả thiết ta có : un 1 au n bu n c,  n 0. 
 2 2 2 2 2
Từ đó suy ra un 11 2. au n u n a u n bu n c 
Vì ab2 1 nên suy ra: 
 2 2 2 2 2 2
 un 11 2 au n u n a u n ( a 1) u n c
 2 2 2
 un 2 au n 11 u n u n c
Thay n bởi n +1 vào đẳng thức trên ta được 
 2 2 2
 un 2 au n 11 u n u n c 
 Từ đây suy ra uunn 11, là hai nghiệm của phương trình