Sáng kiến kinh nghiệm Các dạng bài tập sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất

 1 
1. PHẦN MỞ ĐẦU 
 1.1. Lý do chọn sáng kiến 
 Nâng cao chất lượng học tập của học sinh là con đường duy nhất để đáp ứng 
mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh. Bản thân là một giáo viên, tôi muốn 
học sinh của mình tiến bộ, tiếp thu kiến thức một cách dễ dàng, phát huy tính 
tích cực, tư duy, sáng tạo. 
 Song song với việc học Toán trong sách giáo khoa, làm bài tập mà giáo viên 
yêu cầu..., học sinh còn phải biết tìm tòi, nghiên cứu, tổng quát được vấn đề và 
rút ra điều có ích cho bản thân. 
 Đa số học sinh ở cấp trung học cơ sở của Trường THCS An Hải rất ngại phải 
va chạm với những bài toán có nội dung tìm giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức. Nguyên nhân chủ quan là các em không định hướng được cách 
giải, nguyên nhân khách quan là tính phức tạp của bài toán, nên hầu hết học 
sinh thường gặp khó khăn khi gặp các bài toán có nội dung này. 
 Vì vậy tôi lựa chọn sáng kiến này nhằm giới thiệu cách giải một số bài toán 
thường gặp nhờ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm giá trị lớn nhất - Giá 
trị nhỏ nhất cho học sinh trung học cơ sở, góp phần nâng cao chất lượng giảng 
dạy trong các nhà trường trung học cơ sở hiện nay và chuẩn bị hành trang cho 
học sinh học tập bộ môn toán ở cấp trung học phổ thông. 
 1.2. Mục đích nghiên cứu 
 Khi viết sáng kiến này tôi cố gắng hệ thống, xây dựng cô đọng và đầy đủ 
những phương pháp giải, phát triển bài toán nhằm phát triển tư duy của học 
sinh. 
 Nâng cao, mở rộng hiểu biết cho học sinh, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về 
các bài tập sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất - giá trị 
nhỏ nhất 
 Rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, phân tích bài toán, phát hiện và bồi 
dưỡng những học sinh có năng khiếu về Toán học. 3 
2. NỘI DUNG 
 2.1. Thời gian thực hiện 
 Kế hoạch thực hiện sáng kiến được bắt đầu từ học kì I năm học 2020 – 2021, 
được áp dụng trong học kì I học năm 2021 – 2022 cho đến nay. 
 2.2. Đánh giá thực trạng 
 2.2.1. Kết quả đạt được 
 - Những năm gần đây, nhà trường luôn chú trọng đến việc đổi mới phương 
pháp dạy học nhằm phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực cho học sinh, 
đòi hỏi bản thân giáo viên nỗ lực tìm tòi, nghiên cứu những phương pháp dạy 
học phù hợp để đáp ứng yêu cầu phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo của 
học sinh. Việc nghiên cứu bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán tìm giá trị 
lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất giúp bản thân có nguồn tư liệu để phục vụ công tác 
giảng dạy. 
 - Đa số học sinh đã thấy được tầm quan trọng của việc học tập, vì thế ngày 
càng yêu thích môn học. Việc sử dụng internet ngày càng rộng rãi, giúp các em 
tìm tòi những tư liệu phục vụ cho việc học và khám phá. 
 2.2.2. Những mặt còn hạn chế 
 2.2.2.1. Về phía giáo viên: 
 - Dạng toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là một trong những bài toán 
khó của trung học cơ sở mà giáo viên cũng cần phải có thời gian nghiên cứu về 
phương pháp và những dạng toán cụ thể nhằm giúp học sinh rèn luyện khả năng 
tư duy sáng tạo. 
 - Giáo viên đầu tư thời gian nghiên cứu còn ít. 
 2.2.2.2. Về phía học sinh: 
 - Mặc dù học sinh đã có ý thức về tầm quan trọng của môn Toán, tuy nhiên 
chất lượng học tập môn Toán chưa thật sự cao. 
 - Học sinh gặp khó khăn trong việc sử dụng các dạng vào bài tập. Chưa vững 
kỹ năng sử dụng bất đẳng thức. 
 - Nhiều học sinh chưa có sự hướng dẫn cụ thể để nắm bắt tình hình học tập. 
 5 
 + Đa số học sinh chăm ngoan, có ý thức học tập, tiếp thu bài trên lớp, có 
chuẩn bị bài trước khi đến lớp. 
 + Nhiều học sinh thích tìm tòi, học hỏi. 
 + Đa số các em rất hứng thú trong giờ học Toán. 
 - Về bản thân: 
 + Được sự quan tâm tạo điều kiện của Ban giám hiệu nhà trường về công tác 
giảng dạy và được sự hỗ trợ nhiệt tình từ đồng nghiệp. 
 + Được tham gia tập huấn về chuyên môn nghiệp vụ phục vụ cho công tác 
đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá. 
 + Được đào tạo đúng chuyên ngành, luôn có tinh thần học hỏi để nâng cao 
tay nghề, luôn nhiệt tình và có trách nhiệm trong các công tác được giao. 
 + Luôn có ý thức tự học bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn, năng lực 
sư phạm. 
 + Bản thân luôn tận tâm, sát cánh cùng các em học sinh trong quá trình học 
về những dạng toán khó. 
 2.3.2. Nguyên nhân hạn chế: 
 - Ý thức tự giác học tập, rèn luyện của một số học sinh còn hạn chế do các 
em chưa xác định đúng động cơ học tập. 
 - Đặc biệt đa số học sinh chưa nắm bắt được phương pháp học môn Toán. 
Một số em lười trong việc thực hiện các hoạt động giáo viên giao, lười chép 
bài, học bài cũ. 
 - Học sinh cảm thấy phần kiến thức này khó nên không đầu tư nhiều. 
 - Học sinh chưa biết vận dụng tổng hợp các kiến thức liên quan đã học và 
vận dụng vào giải toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên gặp dạng toán 
này học sinh thường hay bế tắc trong cách giải. 
 - Tài liệu tham khảo cho việc học của học sinh chưa được phong phú. 
 7 
 Mức độ 1: Các bài tập này chủ yếu dừng ở mức độ nhận biết, giúp học sinh 
bước đầu biết cách vận dụng lí thuyết để giải bài tập. 
 Mức độ 2: Các bài tập ở mức thông hiểu, để giải được các bài tập này học 
sinh ngoài việc phải nắm chắc những kiến thức cơ bản còn phải biết linh hoạt 
sử dụng nhiều kiến thức, kĩ năng toán học khác. 
 Mức độ 3: Các bài tập ở mức cao hơn đòi hỏi học sinh phải phát huy tốt tư 
duy toán học, để giải các bài tập này ngoài kiến thức toán học vững vàng học 
sinh thường phải sử dụng nhiều hoạt động toán học như phán đoán, phân tích, 
biến đổi, so sánh, tổng hợp, khái quát 
 3.2.2.1. Lý thuyết vận dụng 
 - Bất đẳng thức Bunhiacopxki áp dụng cho hai bộ số (a, b) và (x, y): (a2+ 
b2).(x2+ y2) ( ax + by)2 (1) 
 Bằng kiến thức học sinh đã học ở lớp 8 các em chứng minh được Bất đẳng 
thức này: 
 (1) a2 x2+ b2x2 + a2y2 + b2y2 a2 x2+ b2y2+ 2abxy 
 a2y2 - 2abxy + b2x2 0 
 (ay – bx)2 0 (2) 
 (2) luôn luôn đúng (1) đúng 
 a b
 Dấu “=’’ xảy ra ay = bx = (x, y 0) 
 x y
 Bất đẳng thức Bunhiacopxki có đặc điểm khác với bất đẳng thức Côsi ở chỗ 
hai bộ số không đòi hỏi phải dương, áp dụng rộng hơn, tuy nhiên đối với từng 
bài toán cụ thể mà áp dụng cho thích hợp. 
 - Bất đẳng thức Bunhiacopxki áp dụng cho hai bộ ba số (a, b, c) và (x, y, z): 
 (a2+ b2 +c2).(x2+ y2 + z2) ( ax + by +cz )2 
 a b c
 Dấu “ =’’ xảy ra = = (x, y, z 0) 
 x y z
 Có khi người ta viết bất đẳng thức ở dạng : 
 ax + by + cz (a2 + b2 + c2 )(x2 + y2 + z2 ) tùy theo từng lúc vận dụng. 
 9 
 P2 = (1.x + 1.y)2 (12+ 12)(x2+ y2) 
 Như vậy ta có thể biết được biểu thức P2 nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số và 
ta có thể dễ dàng tìm được tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P. 
 P 2.4 −2 2 P 2 2 
 x = y
 Dấu “=’’ xảy ra x = y = 2 
 2 2
 x + y = 4
 Vậy Pmax = 22 x = y = 2 
 Pmin = −22 x = y = − 2 
 Để đưa học sinh đi đến dạng tổng quát ta đi vào bài tập sau: 
 Bài tập 2. Tìm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 S = x +2y biết x2 + 4y2 = 2 
 Ở bài tập này nếu đặt 2y = Y thì hoàn toàn giống dạng ở bài tập 1. Từ đó học 
sinh biết chọn hai bộ số như thế nào thì thích hợp cho những dạng bài tập như 
thế này. 
 Bài tập 3. Tìm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 A = 4x + 3y biết 4x2 + 3y2 = 7 
 Phân tích: Cách xác định a, b để áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki vào 
dạng 1 như thế nào? 
 Các cách xác định a, b: 
 4x + 3y = a.f(x) + b.g(y) trong đó f2(x) + g2(y) = 4x2 + 3y2 
 4x + 3y = 2.2x + 3. 3y 
 Khi đó áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số A: (2 ; 3 ) và 
(2x ; 3y) ta có: A2 = (4x + 3y) 2 [22 +( 3 )2]. [(2x)2 + 3y2] 
 A2 7.7 |A| 7 
 4x2 + 3y2 = 7
 Dấu “=” xảy ra 2x 3y 
 =
 2 3
 Amin = - 7 xy = = −1 
 11 
 2 2
 a b 
 Ta có: P2 mk2 trong đó m = + P k m 
 c d 
 (Các bài tập tương tự ta có thể thay a, b, c, d, k bởi các số thực bất kì khác 
0) 
 Bài tập 5. Cho x, y thoả mãn 2x2 + 3y2 = 12. 
 Tìm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 5x + 4y. 
 Bài tập 6. Cho x, y thoả mãn 3x2 + y2 = 4. 
 1
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = – x+ y. 
 2
 Bài tập 7. 
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 M = 2x – 5y – 6 biết x2 + y2 = 2. 
 Hướng dẫn: Ứng dụng như dạng 1 tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
2x – 5y sau đó tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M. 
 Bài tập 8. Cho x, y thoả mãn (x – 1)2 + (2y – 1)2 = 8 
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2y. 
 Ở bài tập này ta áp dụng dạng 1 như thế nào? 
 Hướng dẫn: Từ (x – 1)2 + (2y – 1)2 = 8 ta nghĩ đến áp dụng dạng 1 cho f(x) 
= x – 1; g(y) = 2y – 1. 
 Muốn tìm a, b phải biến đổi như thế nào ? 
 P = x + 2y = a.(x – 1) + b.(2y – 1) 
 P = 1.(x – 1) + 1.(2y – 1) + 2 
 P – 2 = 1.(x – 1) + 1.(2y – 1) 
 Như vậy để tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P ta phải tìm giá 
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P – 2. 
 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (1 ; 1) và (x–1;2y–1) ta 
có: (P – 2)2 = (x – 1 + 2y – 1)2 (12 + 12). [(x – 1)2 + (2y – 1)2] 
 (P – 2)2 2.8 = 16 
 13 
 2
 Hay k2 (a2 + b2) A A k 
 a 2 + b 2
 a. f (x) + b.g(y) = k
 Dấu “=” xảy ra f (x) g(y) 
 =
 a b
 a .k
 f (x) = 2 2
 a. f (x) b.g(y) k a + b
 = = 
 a 2 b 2 a 2 + b 2 b k
 g(y) =
 a 2 + b 2
 Một số ví dụ áp dụng: 
 Bài tập 1. Cho x, y thoả mãn 3x – 4y = 5 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x2 + y2 
 Phân tích: Đây là một bài tập có thể áp dụng trực tiếp ngay ở dạng 2. 
 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (3; – 4) và (x; y) ta có: 
(3x – 4y)2 [ 32+( – 4)2] (x2 + y2) 
 25 25 . M 
 M 1. 
 x y
 = 3x 4y 5
 Dấu “ = “ xảy ra 3 4 − = 
 9 16 25
 3x − 4y = 5
 3x 1 3 −4
 = x = và y = 
 9 5 5 5
 −4
 Vậy Mmin = 1 x = và y = 
 5
 Bài tập 2. Cho 2 số x ;y thoả mãn 3x – 8y = 11. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: N = 4x2 + 5y2. 
 Phân tích: Để vận dụng dạng 2 ta biến đổi: N = (2x)2 + ( 5y)2 
 3 − 8 
 Xác định a, b sao cho: 3x – 8y = a. 2x + b.y 5 = .2x + y. 5 
 2 5 
 15 
 [2(3x – 2y – 1) + (– 6x + 4y + 3)]2 (22 + 12).A 
 1
 1 5.A A 
 5
 1 3x − 2y −1 2 7
 Amin = = −6x + 4y + 3 15x = 10y + 7 x = y + 
 5 2 3 15
 Bài tập tự giải: 
 Bài tập 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 6 8
 A = (3x – 4y + 1)2 + ( x – y + 3)2 
 5 5
 Hướng dẫn: Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số 
 (2; – 5) và [(3x – 4y +1); ( x – y + 3)] 
 Như vậy việc tìm bộ số ( ;  ) và lượng k là vấn đề mấu chốt nhưng không 
phải lúc nào ; k cũng là những hằng số. 
 Bài tập 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 3 1
 A = + với 0 < x < 3 
 3 − x x
 2 2
 3 1 
 Hướng dẫn: Để ý ta thấy với 0 < x < 3 thì: A = + 
 3 − x x 
 3 1
 Lúc này ta có thể vận dụng với f(x) = ; g(x) = 
 3 − x x
 Còn chọn k, ,  bằng bao nhiêu? ,  phải thoả mãn điều kiện gì? 
 3 1
 +  = k không đổi 
 3 − x x
 31
 Chú ý: . 3−xx + . = 3 + 1 và ( 3 − x) 2 + ( x) 2 = 3 
 3− xx
 Từ đó chọn: = 3 − x; = x;k = 3 +1 
 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số ( 3 − x; x) và 
 2
 3 1 3 1 3 1
 ; ta có: . 3 − x + . x + (3 − x + x) 
 3 − x x 3 − x x 3 − x x