Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức nhằm phát huy năng lực học sinh lớp 7

 2)Mục đớch nghiờn cứu
 - Cỏc phương phỏp thường dựng để giải cỏc bài toỏn về tỉ lệ thức
 - Rốn kĩ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toỏn về tỉ lệ thức, học sinh 
nắm vững kiến thức, biết vận dụng vào giải bài tập, vận dụng trong hình học 8 
phần Định Lí Ta-let và tam giác đồng dạng. 
 - Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập nhằm nâng cao chất lượng giờ 
dạy, nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân, thông qua đó 
giới thiệu cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào quá trình giảng dạy 
môn Toán ở trường THCS đạt hiệu quả cao. 
 - Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện giải quyết nhiệm vụ nhận thức
và có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo các kiến thức kỹ năng đã thu nhận 
được.
3.Nhiệm vụ nghiờn cứu:
 - Nhiệm vụ khỏi quỏt: Nờu những phương phỏp giải bài toỏn tỉ lệ thức theo 
chương trỡnh mới.
 - Nhiờm vụ cụ thể: 
 - Tỡm hiểu thực trạng học sinh.
 - Những phương phỏp thực hiện. 
 - Những chuyển biến sau khi ỏp dụng.
 - Bài học kinh nghiệm.
4. Đối tượng nghiờn cứu.
 - Đề tài nghiờn cứu qua cỏc tiết dạy về tỷ lệ thức trong SGK toỏn 7 tập 2, 
qua định hướng đổi mới phương phỏp dạy toỏn 7.
 - Đối tượng khảo sỏt: HS lớp 7/1 trường TH &THCS Đại Tõn.
5.Phương phỏp nghiờn cứu:
 - Phương phỏp nghiờn cứu tài liệu SGK, sỏch tham khảo.
 - Phương phỏp kiểm tra, thực hành.
 - Phương phỏp phỏt vấn ,đàm thoại nghiờn cứu vấn đề. 
 - Tổng kết kinh nghiệm của bản thõn và của đồng nghiệp khi dạy phần “tỉ lệ 
thức”
 PHẦN THỨ HAI
 B.NỘI DUNG
I.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIấN CỨU.
I.1. Đặc điểm tỡnh hỡnh lớp :
 Lớp 7/1 cú số lượng học sinh khụng đồng đều về mặt nhận thức gõy khú 
khăn cho giỏo viờn trong việc lựa chọn phương phỏp phự hợp.Nhiều học sinh cú 
hoàn cảnh khú khăn do đú việc đầu tư về thời gian và sỏch vở bị hạn chế và ảnh 
hưởng khụng nhỏ đến nhận thức và sự phỏt triển tư duy của cỏc em. Đa số cỏc 
em hay thoả món trong học tập, cỏc em cho rằng chỉ cần học thuộc lũng cỏc 
kiến thức trong SGK là đủ. Chớnh vỡ vậy mà cỏc em tiếp thu kiến thức một cỏch 
thụ động, khụng tự mày mũ, khỏm phỏ kiến thức mới. 
 Hầu hết cỏc em đều hấp tấp khi giải cỏc bài tập dạng này.
 VD: Lời giải của em - Lớp 7/1 
 2 tính chất mở rộng của tỷ lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau, của đại lượng tỉ lệ 
thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch, sau đó cho học sinh làm một loạt những bài toán 
cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc 
chọn lời giải, có thể minh hoạ điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ 
đơn giản đến phức tạp .
II 1. Tỉ lệ thức
1. Định nghĩa:
 a c
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số b d (hoặc a : b = c : d).
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng 
ngoài hay còn gọi là ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay còn gọi là trung tỉ.
2. Tính chất:
 a c
 ad bc
Tính chất 1: Nếu b d thì 
Tính chất 2: ( Điều kiện để 4 số lập thành các tỉ lệ thức) 
Nếu ad bc và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:
 a c a b d c d b
 ; ; ; 
 b d c d b a c a
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn 
lại.
II 2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 
 a c a c a c a c
- Tính chất: Từ suy ra: 
 b d b d b d b d
- Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: 
 a c e a c e a b c a b c
 ...
 b d f suy ra: b d f b d f b d f
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
 a b c
 : Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 
Chú ý 2 3 5
5.
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5
 Sau khi học sinh đó nắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyết 
vào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người giáo viờn khụng chỉ đơn 
thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho cỏc em biết suy nghĩ tỡm 
ra con đường hợp lý để giải bài toỏn như nhà toỏn học Pụlia đó núi “Tỡm được 
cỏch giải một bài toỏn là một điều phỏt minh”.
 Tuy nhiờn khi giải bài tập dạng này tụi khụng muốn dừng lại ở những bài 
tập SGK mà tụi muốn giới thiệu thờm một số bài tập điển hỡnh và một số 
phương phỏp giải cỏc bài tập đú. 
 4 ( Bài toán này các em có thể sử dung kiến thức tìm một thành phần chưa biết của 
tỉ lệ thức : Nếu biết 3 trong 4 số hạng của tỷ lệ thức ta tìm được số hạng còn lại 
trong tỷ lệ thức.
 b.c b.c a.d a.d
 a ; d ; b ; c 
 d a c b
a) Ta có: 
 x 15 2.15 30
 x 10
 2 3 3 3 
Vậy x = 10
b) -1,5 : x = 4,5 : 0,3
 4,5 . x = -1,5 . 0,3
 4,5 . x = - 0,45
 x = - 0,45 : 4,5
 x = - 0,1 .
 Vậy x = 0,1
 x y
Bài toán 2: Tìm hai số x và y biết và x y 20
 2 3
 Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
 x y
Đặt k , suy ra: x 2k , y 3 k
 2 3
Theo giả thiết: x y 20 2k 3k 20 5k 20 k 4 
Do đó: x 2.4 8
 y 3.4 12
KL: x 8 , y 12
 Cách 2: ( Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 x y x y 20
 4
 2 3 2 3 5
 x y
Do đó: 4 x 8 ; 4 y 12
 2 3
KL: x 8 , y 12
Bài toán 3: Tìm x, y, z biết: 
 x y y z
 , và 2x 3y z 6
 3 4 3 5
 Giải:
 6 4 y 4.5
+ Với x 4 ta có y 10
 2 5 2
KL: x 4 , y 10 hoặc x 4 , y 10
 Bài toán 5: 1. Tìm x, y, z biết
 a) 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158
 b) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60
 c) 2x = 3y = 5z và x + y - z = 95
 Giải:
 Đối với bài toán 5 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã 
nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến 
tính chất của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và chọn lời giải cho phù 
hợp. 
Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải 
sau: 
 x y x 1 y 1 x y
Ta có: 3x = 5y . . hay 
 5 3 5 8 3 8 40 24
 y z y 1 z 1 y z
 5y = 8z . . hay 
 8 5 8 3 5 3 24 15
 x y z x y z 158
 2
 40 24 15 40 24 15 79
 x = 40 . 2 = 80
 y = 24 . 2 = 48
 z = 15 . 2 = 30
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 2: Dựa vào tính chất của phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội 
số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời giải của bài toán như sau: 
Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120
 1 1 1
 Từ 3x = 5y = 8z 3x. 5y. 8z.
 120 120 120
 x y z x y z 158
 Hay 2
 40 24 15 40 24 15 79
 (Tương tự như trên có ...)
 Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành 1 thương. Điều đó đã 
hướng cho các em tìm ra cách giải sau: 
 x y z x y z 158
 240
 Từ 3x = 5y = 8z 1 1 1 1 1 1 79
 3 5 8 3 5 8 120
 1
 x = .240 80
 3
 8 x 1 2 y 4 (z 2) x 2 y z 3 12 3
 1
 5 6 2 9 9
 x - 1 = 5 x = 6
 x - 2 = 3 y = 5
 z - 2 = 2 z =4
Cách 2: Dùng phương pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau: 
 x 1 y 2 z 2
Đặt k
 5 3 2
 x - 1 = 5k x = 5k + 1 
 y - 2 = 3k y = 3k + 2
 z - 2 = 2k z = 2k + 2
Ta có: x + 2y - z = 12  2k + 1 + 2(3k + 2) - (2k + 2) = 12
  9k + 3 = 12
  k = 1
 Vậy x = 5 . 1 + 1 = 6
 y = 3 . 1 + 2 = 5
 z = 2 . 1 + 2 = 4
 Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để tự 
giải phần (b) và của bài toán 5. 
Bài toán 6: Tìm x, y, z biết rằng:
 y z 1 x z 2 x y 3 1
 x y z x y z
 Đối với bài toán 6 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu? đi từ 
kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để xuất hiện 
x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ số bằng 
nhau và đã có lời giải của bài toán như sau: 
 Giải:
Điều kiện : x, y, z 0
 y z 1 x z 2 x y 3 y z 1 x z 2 x y 3 2(x y z)
 2
Ta có: x y z x y z x y z
 1 1
 2 x + y + z = 0,5
 x y z 2
 x + y = 0,5 – z
 y + z = 0,5 – x
 x + z = 0,5 – y
Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có: 
 y z 1 0,5 x 1
 +) 2 2 
 x x
 10 A C
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số và có cùng giá trị.
 B D
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
 a na
+) (n 0)
 b nb
 n n
 a c a c 
+) 
 b d b d 
 a c
 1 
Bài toán 1: Cho tỷ lệ thức: b d với a, b, c, d 0
 a b c d
Chứng minh : 
 a c
 Giải
Cách 1: Từ 
 a c
 a .d b .c
 b d 
Xét tích (a. b).c a.c b.c 
Thay b.c a.d (a b).c a.c a.d (c d).a
 a b c d
 (a b).c (c d).a 
Vậy a c
 a b c d
 Như vậy để chứng minh: 
 a c
 ta phải có đẳng thức (a b).c (c d).a .
 a c
 k a b.k ; c d .k
Cách 2 : Đặt b d
 a b b.k b b(k 1) k 1
Xét a b.k b.k k (1)
 c d d.k d d(k 1) k 1
Và c d.k d.k k (2)
 a b c d
Từ (1) và (2) a c
 12 2 2
 a b a b 
Từ (1) và (2) 
 c d c d 
 a b a b
Xét trường hợp : c d c d
 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 a b a b a b 2a a
 c d c d c d 2c c a b a c
 a b a b a b 2b b 
 c d b d
 c d c d c d 2d d
 a b a b b a
Xét trường hợp : 
 c d c d c d
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 a b b a a b b a 2b b
 c d c d c d c d 2c c a b a d
 a b b a a b b a 2a a 
 d c b c
 c d c d c d c d 2d d
 a c ab a2 b2
 : Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: 
Bài toán 3 b d cd c2 d2
 Giải:
 a c
 ad bc
Cách 1: Từ giả thiết: b d (1)
 2 2 2 2
Ta có: ab c d abc abd acbc adbd 
(2)
 2 2 2 2
 cd a b a cd b cd acad bc.bd (3)
 2 2 2 2
Từ (1), (2), (3) suy ra: ab c d cd a b 
 ab a2 b2
 (đpcm)
 cd c2 d2
 a c
 k a bk , c dk
Cách 2: Đặt b d , suy ra 
 ab bk.b kb 2 b 2
Ta có: (1) 
 cd dk.d kd 2 d 2
 14